Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/26

Замѣтимъ, что производныя функціи сложныхъ количествъ опредѣляются иногда съ такою же удобностію, какъ и производныя функціи простыхъ количествъ. Такъ, на примѣръ, находимъ

полагая $y={\text{tang }}x={\frac {\sin x}{\cos x}}$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {1}{i}}({\frac {\sin(x+i)}{\cos(x+i)}}-{\frac {\sin x}{\cos x}})={\frac {\sin i}{i\cos x\cos(x+i)}}$,

$y'={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$;

полагая $y=\cot x={\frac {\cos x}{\sin x}}$, ${\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {1}{i}}({\frac {\cos(x+i)}{\sin(x+i)}}-{\frac {\cos x}{\sin x}})={\frac {\sin i}{i\sin x\sin(x+i)}}$,

$y'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$;

изъ сего выводимъ

полагая $y={\text{arc tang }}x$, ${\text{tang }}y=x$, ${\frac {y'}{\cos ^{2}y}}=i$, $y'=\cos ^{2}y={\frac {1}{1+x^{2}}}$;

полагая $y={\text{arc cot x}}$, $\cot y=x$, ${\frac {-y'}{\sin ^{2}y}}=I$, $y'=-\sin ^{2}y={\frac {-1}{1+x^{2}}}$;