Страница:Дифференциальное и интегральное исчисление (Коши).djvu/28

$$df(x)=f'(x).dx,$$

(4.)

или, что все равно, уравненіемъ

$$dy=y'dx.$$

(5.)

Изъ сихъ послѣднихъ уравненій слѣдуетъ, что производная функція $y'=f'(x)$ какой либо функціи $y=f(x)$ равняется отношенію ${\frac {dy}{dx}}$, дифференціала функціи къ дифференціалу перемѣнной величины, или, что все равно, коеффиціенту, на котораго должно умножить дифференціалъ измѣняемой величины, чтобы получить дифференіалъ функціи. По сей-то причинѣ производная функція иногда называется дифференціальнымъ коеффиціентомъ.

Дифференцировать функцію, значитъ найти ея дифференціалъ. Дѣйствіе для сего употребляемое называется дифференцированіемъ.

По уравненію (4), весьма легко найти дифференціалы тѣхъ функцій, коихъ производныя функціи извѣстны. Приложивъ сіе уравненіе къ простымъ функціямъ, получимъ

$$d(a+x)=dx,d(a-x)=-dx,d(ax)=adx,d({\frac {a}{x}})=-a{\frac {dx}{x^{2}}};$$

$$d(x^{a})=ax^{a-1}dx;$$

$$d.A^{x}=A^{x}l(A).dx,\ d.e^{x}=e^{x}dx;$$

$$d.L(x)=L(e){\frac {dx}{x}},\ d.l(x)={\frac {dx}{x}};$$

$$d.\sin x=\cos x.dx=\sin(x+{\frac {\pi }{2}})dx;$$

$$d.\cos x=-\sin x.dx=\cos(x+{\frac {\pi }{2}})dx;$$

$$d.\arcsin x={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}},\ d.\arccos x=-{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$$

Такимъ же образомъ найдемъ

$$d.{\text{tang }}x={\frac {dx}{\cos ^{2}x}}\qquad d.{\text{cot }}x=-{\frac {dx}{\sin ^{2}x}};$$