Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/14

Эта страница была вычитана

непосредственно слѣдуетъ изъ условій задачи. Напримѣръ, «если проводимъ изъ данной точки прямую, касательную къ данному кругу, то эта прямая есть данная по величинѣ и положенію» (Теорема 91 въ Data Евклида).

Древніе и средневѣковые геометры во всѣхъ геометрическихъ изысканіяхъ ссылались на теоремы «данныхъ», также какъ и на теоремы «элементовъ»; самъ Ньютонъ пользовался въ «Principia» этою книгою Евклида, также какъ и «коническими сѣченіями» Аполлонія. Но съ того времени подобные слѣды древности исчезли изъ сочиненій геометровъ и теперь книга «данныя» знакома развѣ только тѣмъ, кто занимается исторіею науки. ^[1]

Изъ нѣкоторыхъ теоремъ книги «данныя» легко можно вывесть рѣшеніе уравненій второй степени, которое у древнихъ въ первый разъ встрѣчается только у Діофанта, жившаго 600 лѣтъ позднѣе Евклида. Примѣромъ этому можетъ служитъ слѣдующая теорема: «Если двѣ прямыя, наклоненныя подъ даннымъ угломъ, заключаютъ данную площадь и если дана ихъ сумма, то и каждая изъ нихъ будетъ дана (извѣстна)»^[2].

↑ Въ книгѣ «данныя» Евклидъ употребляетъ одно выраженіе, которое дѣлаетъ непонятными его умозаключенія, и самый смыслъ котораго трудно уяснить себѣ изъ даннаго имъ опредѣленія. Такъ какъ это выраженіе встрѣчается также у Аполлонія и Паппа и употреблялось даже въ сочиненіяхъ прошлаго столѣтія, то считаемъ здѣсь умѣстнымъ упомянуть о немъ. Евклидъ говоритъ, что одна величина болѣе другой на данную относительно содержанія (по отношенію къ содержанію), когда одна величина безъ данной имѣетъ къ другой величинѣ данное отношеніе (содержаніе). Такъ, если $c$ будетъ данная величина, а $\mu$ содержаніе, то величина $A$ будетъ болѣе $B$ на $c$ данную относительно содержанія $\mu$ , когда ${\tfrac {A-c}{B}}=\mu$ .
Евклидъ хотѣлъ, какъ видно, трехчленное уравненіе представить въ видѣ равенства двухъ членовъ.
↑ Эта теорема содержитъ въ себѣ рѣшеніе двухъ уравненій $xy=a^{2}$ и $x+y=b$ , изъ которыхъ прямо получается уравненіе второй степени $x^{2}-bx+a^{2}=0$ . Рѣшеніе задачи у Евклида даетъ два корня этого квадратнаго уравненія.
Другая теорема (87-я) рѣшаетъ два уравненія: $xy=a^{2}$ и $x^{2}-\mu y^{2}=b^{2}$ , которыхъ корни получаются изъ уравненія четвертой степени, приводимаго къ квадратному.

Тот же текст в современной орфографии

непосредственно следует из условий задачи. Например, «если проводим из данной точки прямую, касательную к данному кругу, то эта прямая есть данная по величине и положению» (Теорема 91 в Data Евклида).

Древние и средневековые геометры во всех геометрических изысканиях ссылались на теоремы «данных», также как и на теоремы «элементов»; сам Ньютон пользовался в «Principia» этою книгою Евклида, также как и «коническими сечениями» Аполлония. Но с того времени подобные следы древности исчезли из сочинений геометров и теперь книга «данные» знакома разве только тем, кто занимается историею науки. ^[1]

Из некоторых теорем книги «данные» легко можно вывести решение уравнений второй степени, которое у древних в первый раз встречается только у Диофанта, жившего 600 лет позднее Евклида. Примером этому может служит следующая теорема: «Если две прямые, наклоненные под данным углом, заключают данную площадь и если дана их сумма, то и каждая из них будет дана (известна)»^[2].

↑ В книге «данные» Евклид употребляет одно выражение, которое делает непонятными его умозаключения, и самый смысл которого трудно уяснить себе из данного им определения. Так как это выражение встречается также у Аполлония и Паппа и употреблялось даже в сочинениях прошлого столетия, то считаем здесь уместным упомянуть о нем. Евклид говорит, что одна величина более другой на данную относительно содержания (по отношению к содержанию), когда одна величина без данной имеет к другой величине данное отношение (содержание). Так, если $c$ будет данная величина, а $\mu$ содержание, то величина $A$ будет более $B$ на $c$ данную относительно содержания $\mu$ , когда ${\tfrac {A-c}{B}}=\mu$ .
Евклид хотел, как видно, трехчленное уравнение представить в виде равенства двух членов.
↑ Эта теорема содержит в себе решение двух уравнений $xy=a^{2}$ и $x+y=b$ , из которых прямо получается уравнение второй степени $x^{2}-bx+a^{2}=0$ . Решение задачи у Евклида дает два корня этого квадратного уравнения.
Другая теорема (87-я) решает два уравнения: $xy=a^{2}$ и $x^{2}-\mu y^{2}=b^{2}$ , которых корни получаются из уравнения четвертой степени, приводимого к квадратному.

[1] Въ книгѣ «данныя» Евклидъ употребляетъ одно выраженіе, которое дѣлаетъ непонятными его умозаключенія, и самый смыслъ котораго трудно уяснить себѣ изъ даннаго имъ опредѣленія. Такъ какъ это выраженіе встрѣчается также у Аполлонія и Паппа и употреблялось даже въ сочиненіяхъ прошлаго столѣтія, то считаемъ здѣсь умѣстнымъ упомянуть о немъ. Евклидъ говоритъ, что одна величина болѣе другой на данную относительно содержанія (по отношенію къ содержанію), когда одна величина безъ данной имѣетъ къ другой величинѣ данное отношеніе (содержаніе). Такъ, если $c$ будетъ данная величина, а $\mu$ содержаніе, то величина $A$ будетъ болѣе $B$ на $c$ данную относительно содержанія $\mu$ , когда ${\tfrac {A-c}{B}}=\mu$ .
Евклидъ хотѣлъ, какъ видно, трехчленное уравненіе представить въ видѣ равенства двухъ членовъ.

[2] Эта теорема содержитъ въ себѣ рѣшеніе двухъ уравненій $xy=a^{2}$ и $x+y=b$ , изъ которыхъ прямо получается уравненіе второй степени $x^{2}-bx+a^{2}=0$ . Рѣшеніе задачи у Евклида даетъ два корня этого квадратнаго уравненія.
Другая теорема (87-я) рѣшаетъ два уравненія: $xy=a^{2}$ и $x^{2}-\mu y^{2}=b^{2}$ , которыхъ корни получаются изъ уравненія четвертой степени, приводимаго къ квадратному.

[3] В книге «данные» Евклид употребляет одно выражение, которое делает непонятными его умозаключения, и самый смысл которого трудно уяснить себе из данного им определения. Так как это выражение встречается также у Аполлония и Паппа и употреблялось даже в сочинениях прошлого столетия, то считаем здесь уместным упомянуть о нем. Евклид говорит, что одна величина более другой на данную относительно содержания (по отношению к содержанию), когда одна величина без данной имеет к другой величине данное отношение (содержание). Так, если $c$ будет данная величина, а $\mu$ содержание, то величина $A$ будет более $B$ на $c$ данную относительно содержания $\mu$ , когда ${\tfrac {A-c}{B}}=\mu$ .
Евклид хотел, как видно, трехчленное уравнение представить в виде равенства двух членов.

[4] Эта теорема содержит в себе решение двух уравнений $xy=a^{2}$ и $x+y=b$ , из которых прямо получается уравнение второй степени $x^{2}-bx+a^{2}=0$ . Решение задачи у Евклида дает два корня этого квадратного уравнения.
Другая теорема (87-я) решает два уравнения: $xy=a^{2}$ и $x^{2}-\mu y^{2}=b^{2}$ , которых корни получаются из уравнения четвертой степени, приводимого к квадратному.

[1]

[2]

[1]

[2]