Приложенія нашей теоремы не ограничиваются геометріей, но могутъ быть также полезны и въ механикѣ при вычисленіи живыхъ силъ. Дѣйствительно, изъ теоремы слѣдуетъ, что живыя силы различныхъ точекъ подвижной фигуры пропорціональны квадратамъ ихъ разстояній отъ той точки, которая въ данный моментъ остается неподвижною; слѣдовательно, если положеніе этой точки извѣстно, то достаточно знать живую силу еще одной какой-нибудь точки фигуры. Понселе заявилъ мнѣ, что имъ сдѣлано подобное приложеніе этой теоремы ко многимъ вопросамъ о машинахъ — вопросамъ, въ которыхъ до сихъ поръ не существовало никакого геометрическаго способа для вычисленія живыхъ силъ.
Нѣсколько лѣтъ тому назадъ (См. Bulletin universel des sciences, t. 14) мы представили эту теорему какъ частный случай теоремы о какомъ-либо конечномъ перемѣщеніи фигуры въ плоскости и даже какъ частный случай болѣе общей теоремы о двухъ подобныхъ фигурахъ, расположенныхъ какъ угодно на плоскосіи. Обѣ эти теоремы зависятъ въ свою очередь отъ слѣдующаго еще болѣе общаго принципа.
Разсмотримъ на плоскости двѣ фигуры, которыя первоначально были перспективами одна другой и потомъ помѣщены на плоскости какимъ бы то ни было образомъ; каждая точка одной фигуры будетъ при этомъ имѣть себѣ соотвѣтственную на другой; существуетъ вообще три точки одной фигуры, которыя совпадаютъ съ своими соотвѣтственными точками на другой фигурѣ; одна изъ этихъ точекъ всегда дѣйствительная, двѣ же другія могутъ быть мнимыми.
Отсюда слѣдуетъ, что на одной фигурѣ существуютъ также три прямыя, совпадающія съ соотвѣтственными прямыми второй фигуры: это именно прямыя, соединяющія три сказанныя точки.
Одна изъ такихъ прямыхъ всегда дѣйствительная; двѣ другія могутъ быть мнимыми.
Когда двѣ фигуры подобны, что представляетъ частный случай перспективы, то двѣ изъ трехъ точекъ и двѣ изъ трехъ прямыхъ будутъ всегда мнимыя; третья точка дѣйствительная; третья прямая также дѣйствительная, но лежитъ въ безконечности.
Тоже будетъ и въ томъ случаѣ, когда двѣ фигуры равны между собою.
Этимъ свойствамъ плоскихъ фигуръ существуютъ соотвѣтствующія въ фигурахъ трехъ измѣреній и я вывелъ уже нѣсколько теоремъ, относящихся къ этой теоріи (См. Bulletin universel des sciences, t. 14, p. 321, 1830).
Приложения нашей теоремы не ограничиваются геометрией, но могут быть также полезны и в механике при вычислении живых сил[1]. Действительно, из теоремы следует, что живые силы различных точек подвижной фигуры пропорциональны квадратам их расстояний от той точки, которая в данный момент остается неподвижною; следовательно, если положение этой точки известно, то достаточно знать живую силу еще одной какой-нибудь точки фигуры. Понселе заявил мне, что им сделано подобное приложение этой теоремы ко многим вопросам о машинах — вопросам, в которых до сих пор не существовало никакого геометрического способа для вычисления живых сил.
Несколько лет тому назад (См. Bulletin universel des sciences, t. 14) мы представили эту теорему как частный случай теоремы о каком либо конечном перемещении фигуры в плоскости и даже как частный случай более общей теоремы о двух подобных фигурах, расположенных как угодно на плоскосии. Обе эти теоремы зависят в свою очередь от следующего еще более общего принципа.
Рассмотрим на плоскости две фигуры, которые первоначально были перспективами одна другой и потом помещены на плоскости каким бы то ни было образом; каждая точка одной фигуры будет при этом иметь себе соответственную на другой; существует вообще три точки одной фигуры, которые совпадают с своими соответственными точками на другой фигуре; одна из этих точек всегда действительная, две же другие могут быть мнимыми.
Отсюда следует, что на одной фигуре существуют также три прямые, совпадающие с соответственными прямыми второй фигуры: это именно прямые, соединяющие три сказанные точки.
Одна из таких прямых всегда действительная; две другие могут быть мнимыми.
Когда две фигуры подобны, что представляет частный случай перспективы, то две из трех точек и две из трех прямых будут всегда мнимые; третья точка действительная; третья прямая также действительная, но лежит в бесконечности.
Тоже будет и в том случае, когда две фигуры равны между собою.
Этим свойствам плоских фигур существуют соответствующие в фигурах трех измерений и я вывел уже несколько теорем, относящихся к этой теории (См. Bulletin universel des sciences, t. 14, p. 321, 1830).
- ↑ [Живая сила (устар.) — это удвоенная кинетическая энергия, см., напр., Механику Аппеля, т. 2, n. 336.]
