Брюссельской Академіи содержатъ особенно много удачныхъ приложеній этой изящной теоріи, сдѣланныхъ Кетле и Данделеномъ.
24. Таковы четыре обширныя группы, въ которыя по нашему мнѣнію можно при современномъ состояніи геометріи, разсматривая методы съ философской точки зрѣнія, соединить большинство новѣйшихъ многочисленныхъ открытій. Къ пятой группѣ можно отнести еще нѣкоторыя частныя и спеціальныя теоріи, основанныя на чисто-геометрическихъ началахъ. Таковы, между прочимъ, теорія Сопряженныхъ касательныхъ Дюпена, изъ которой авторъ извлекъ весьма полезныя теоретическія и практическія приложенія, и новая теорія каустическихъ линій, въ которой Кетле свелъ на немногіе принципы начальной геометріи эту важную и трудную часть оптики, не поддававшуюся всѣмъ средствамъ анализа.
Эти теоріи, которыя на первый взглядъ кажутся чуждыми перечисленнымъ выше методамъ, съ нѣкоторыхъ точекъ зрѣнія могутъ связываться съ ними и могутъ въ нихъ находить полезную помощь. Любопытныя сближенія, которыя Кетле дѣлаетъ между своею теоріею каустическихъ линій и теорію стереографическихъ проэкцій, служатъ этому первымъ доказательствомъ; другія доказательства мы будемъ имѣть случай сообщить въ другомъ мѣстѣ[1].
- ↑ Такъ напримѣръ, Дюпенъ въ своемъ прекрасномъ сочиненіи Théorie géométrique de la courbure des surfaces не вполнѣ освободился отъ аналитическихъ соображеній при доказательствѣ такого предложенія: „Двѣ поверхности втораго порядка, которыхъ главныя сѣченія имѣютъ одни и тѣ же фокусы, пересѣкаются во всѣхъ точкахъ подъ прямымъ угломъ". Новѣйшіе методы различнымъ образомъ ведутъ къ чисто-геометрическому доказательству этой теоремы.
Чтобы дать примѣръ силы этихъ методовъ, скажемъ, что съ помощію ихъ достигается также легко доказательство слѣдующаго гораздо болѣе общаго предложенія: Если главныя сѣченія двухъ поверхностей втораго порядка имѣютъ одни и тѣ же фокусы, то контуры, получаемые при разсматриваніи этихъ поверхностей изъ какой угодно точки пространства, пересѣкаются между собою подъ прямыми углами.
Прибавимъ еще, что прекрасные результаты, заключающіеся въ мемуарѣ Бине Sur les axes conjugués et les moments d'inertie des corps (Journal de l'école polytechnique, 16-e cahier), гдѣ авторъ пользуется вышеупомянутою теоремою Дюпена, и подобные же результаты, полученные Амперомъ въ мемуарѣ: Quelques propriétés nouvelles des axes permanents de rotation des corps, — всѣ эти прекрасныя открытія, причисляемыя къ области механики и сдѣланныя авторами при помощи анализа, могутъ также быть получены путемъ чисто-геометрическимъ; слѣдуетъ, можетъ быть, признать, что такой путь естественнѣе соединяетъ эти разнообразныя открытія съ истинами, лежащими въ ихъ основѣ, лучше указываетъ связь ихъ между собою и ведетъ къ болѣе удобному и болѣе раціональному изложенію ихъ.
Такимъ образомъ геометрія, расширяя свои границы, всегда вноситъ свой свѣточъ во всякій новый отдѣлъ физико-математическихъ наукъ.
Брюссельской Академии содержат особенно много удачных приложений этой изящной теории, сделанных Кетле и Данделеном.
24. Таковы четыре обширные группы, в которые по нашему мнению можно при современном состоянии геометрии, рассматривая методы с философской точки зрения, соединить большинство новейших многочисленных открытий. К пятой группе можно отнести еще некоторые частные и специальные теории, основанные на чисто-геометрических началах. Таковы, между прочим, теория Сопряженных касательных Дюпена, из которой автор извлек весьма полезные теоретические и практические приложения, и новая теория каустических линий, в которой Кетле свел на немногие принципы начальной геометрии эту важную и трудную часть оптики, не поддававшуюся всем средствам анализа.
Эти теории, которые на первый взгляд кажутся чуждыми перечисленным выше методам, с некоторых точек зрения могут связываться с ними и могут в них находить полезную помощь. Любопытные сближения, которые Кетле делает между своею теориею каустических линий и теорию стереографических проекций, служат этому первым доказательством; другие доказательства мы будем иметь случай сообщить в другом месте[1].
- ↑ Так например, Дюпен в своем прекрасном сочинении Théorie géométrique de la courbure des surfaces не вполне освободился от аналитических соображений при доказательстве такого предложения: „Две поверхности второго порядка, которых главные сечения имеют одни и те же фокусы, пересекаются во всех точках под прямым углом". Новейшие методы различным образом ведут к чисто-геометрическому доказательству этой теоремы.
Чтобы дать пример силы этих методов, скажем, что с помощью их достигается также легко доказательство следующего гораздо более общего предложения: Если главные сечения двух поверхностей второго порядка имеют одни и те же фокусы, то контуры, получаемые при рассматривании этих поверхностей из какой угодно точки пространства, пересекаются между собою под прямыми углами.
Прибавим еще, что прекрасные результаты, заключающиеся в мемуаре Бине Sur les axes conjugués et les moments d'inertie des corps (Journal de l'école polytechnique, 16-e cahier), где автор пользуется вышеупомянутою теоремою Дюпена, и подобные же результаты, полученные Ампером в мемуаре: Quelques propriétés nouvelles des axes permanents de rotation des corps, — все эти прекрасные открытия, причисляемые к области механики и сделанные авторами при помощи анализа, могут также быть получены путем чисто-геометрическим; следует, может быть, признать, что такой путь естественнее соединяет эти разнообразные открытия с истинами, лежащими в их основе, лучше указывает связь их между собою и ведет к более удобному и более рациональному изложению их.
Таким образом геометрия, расширяя свои границы, всегда вносит свой светоч во всякий новый отдел физико-математических наук.
