Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 1.djvu/262

Пусть дана фигура въ пространствѣ; черезъ произвольно взятую неподвижную точку проводимъ во всѣ точки этой фигуры прямыя линіи и на нихъ (или на ихъ продолженіи по другую сторону отъ неподвижной точки) откладываемъ отрѣзки обратно-пропорціональные длинѣ этихъ линій; черезъ концы отрѣзковъ проводимъ плоскости перпендикулярныя къ направленію отрѣзковъ; эти плоскости будутъ огибать другую фигуру, которая будетъ взаимная данной въ томъ смыслѣ, какъ это понимается въ ученіи о двойственности. Т.-е. плоскостямъ данной фигуры будутъ соотвѣтствовать точки новой фигуры, и если плоскости проходятъ чрезъ одну точку, то соотвѣтственныя имъ точки будутъ лежатъ въ одной плоскости.^[1]

Когда обратно-пропорціональныя величины откладываются на самыхъ прямыхъ, проводимыхъ изъ неподвижной точки къ точкамъ данной фигуры, то перпендикулярныя плоскости въ концахъ отрѣзковъ будутъ полярныя плоскости точекъ данной фигуры относительно нѣкоторой сферы, имѣющей центръ въ неподвижной точкѣ.

Нашъ способъ преобразованія обнимаетъ собою такимъ образомъ теорію взаимныхъ поляръ относительно сферы; онъ даже общѣе этой теоріи, потому что въ ней полярныя плоскости проходятъ всегда между соотвѣтственными имъ точкамъ данной фигуры и центромъ сферы, тогда какъ въ нашемъ способѣ преобразованія плоскости могутъ проходить и по другую сторону неподвижной точки, представляющей собою центръ.^[2]

1. Доказательство этой теоремы чрезвычайно просто. Оно изложено въ Примѣчаніи XXIX.
2. Наше замѣчаніе о степени общности теоріи взаимныхъ поляръ относится только къ геометрическому, а не аналитическому смыслу этой теоріи; въ аналитическомъ же смыслѣ радіусъ сферы, относительно которой берутся поляры, можетъ быть мнимый и тогда полярныя плоскости точекъ данной фигуры будутъ проходить по другую сторону, относительно точки представляющей центръ.

Тот же текст в современной орфографии

Пусть дана фигура в пространстве; через произвольно взятую неподвижную точку проводим во все точки этой фигуры прямые линии и на них (или на их продолжении по другую сторону от неподвижной точки) откладываем отрезки обратно-пропорциональные длине этих линий; через концы отрезков проводим плоскости перпендикулярные к направлению отрезков; эти плоскости будут огибать другую фигуру, которая будет взаимная данной в том смысле, как это понимается в учении о двойственности. Т. е. плоскостям данной фигуры будут соответствовать точки новой фигуры, и если плоскости проходят чрез одну точку, то соответственные им точки будут лежат в одной плоскости.^[1]

Когда обратно-пропорциональные величины откладываются на самых прямых, проводимых из неподвижной точки к точкам данной фигуры, то перпендикулярные плоскости в концах отрезков будут полярные плоскости точек данной фигуры относительно некоторой сферы, имеющей центр в неподвижной точке.

Наш способ преобразования обнимает собою таким образом теорию взаимных поляр относительно сферы; он даже общее этой теории, потому что в ней полярные плоскости проходят всегда между соответственными им точкам данной фигуры и центром сферы, тогда как в нашем способе преобразования плоскости могут проходить и по другую сторону неподвижной точки, представляющей собою центр.^[2]

1. Доказательство этой теоремы чрезвычайно просто. Оно изложено в Примечании XXIX.
2. Наше замечание о степени общности теории взаимных поляр относится только к геометрическому, а не аналитическому смыслу этой теории; в аналитическом же смысле радиус сферы, относительно которой берутся поляры, может быть мнимый и тогда полярные плоскости точек данной фигуры будут проходить по другую сторону, относительно точки представляющей центр.