Наконецъ, Кетле показалъ, что, пролагая на плоскость кривую пересѣченія двухъ извѣстнымъ образомъ опредѣленныхъ поверхностей втораго порядка, можно получить всѣ плоскія кривыя третьяго порядка[1]. Эта теорема, полезная для полученія свойствъ плоскихъ кривыхъ третьяго порядка при помощи извѣстныхъ свойствъ кривыхъ двоякой кривизны четвертаго порядка и обратно[2], можетъ быть представлена въ болѣе общемъ видѣ, причемъ ея примѣненія часто становятся болѣе удобными и обширными. Теорема эта можетъ быть высказана такъ: кривая пересѣченія двухъ поверхностей втораго порядка даетъ въ перспективномъ проложеніи на плоскость изъ точки зрѣнія, помѣщенной на самой кривой, — всѣ кривыя третьяго порядка.
52. Прекрасное предложеніе Кетле вызвало предположеніе, что проэкція, или вообще перспектива, линіи пересѣченія двухъ поверхностей втораго порядка можетъ дать всѣ плоскія кривыя четвертаго порядка и что для этого достаточно помѣстить точку зрѣнія внѣ этой линіи. Но мы можемъ, кажется, отвѣчать на этотъ вопросъ отрицательно и выразить въ слѣдующей теоремѣ особенность кривыхъ четвертаго порядка, получаемыхъ отъ перспективнаго проложенія линіи пересѣченія двухъ поверхностей втораго порядка: такая кривая имѣетъ всегда (и вообще, если исключимъ частныя видоизмѣненія) двѣ двойныя или сопряженныя точки, которыя могутъ быть и мнимыми.
Эта теорема заслуживаетъ нѣкотораго вниманія, потому что изъ нея вытекаютъ новыя слѣдствія, находящіяся въ близкомъ отношеніи къ вопросамъ, занимающимъ геометровъ въ послѣднее время.
- ↑ Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, p. 195.
- ↑ Изъ того напримѣръ, что плоская кривая третьяго порядка имѣетъ вообще три точки перегиба, лежащія на одной прямой, заключаемъ: 1° что черезъ любую точку кривой двоякой кривизны четвертаго порядка можно вообще провести три плоскости, прикасающіяся къ этой кривой въ трехъ другихъ точкахъ и 2° что три послѣднія точки лежатъ въ одной плоскости съ тою, черезъ которую были проводимы три плоскости.
Наконец, Кетле показал, что, пролагая на плоскость кривую пересечения двух известным образом определенных поверхностей второго порядка, можно получить все плоские кривые третьего порядка[1]. Эта теорема, полезная для получения свойств плоских кривых третьего порядка при помощи известных свойств кривых двоякой кривизны четвертого порядка и обратно[2], может быть представлена в более общем виде, причем её применения часто становятся более удобными и обширными. Теорема эта может быть высказана так: кривая пересечения двух поверхностей второго порядка дает в перспективном проложении на плоскость из точки зрения, помещенной на самой кривой, — все кривые третьего порядка.
52. Прекрасное предложение Кетле вызвало предположение, что проекция, или вообще перспектива, линии пересечения двух поверхностей второго порядка может дать все плоские кривые четвертого порядка и что для этого достаточно поместить точку зрения вне этой линии. Но мы можем, кажется, отвечать на этот вопрос отрицательно и выразить в следующей теореме особенность кривых четвертого порядка, получаемых от перспективного проложения линии пересечения двух поверхностей второго порядка: такая кривая имеет всегда (и вообще, если исключим частные видоизменения) две двойные или сопряженные точки, которые могут быть и мнимыми.
Эта теорема заслуживает некоторого внимания, потому что из неё вытекают новые следствия, находящиеся в близком отношении к вопросам, занимающим геометров в последнее время.
- ↑ Correspondance mathématique de Bruxelles, t. V, p. 195.
- ↑ Из того например, что плоская кривая третьего порядка имеет вообще три точки перегиба, лежащие на одной прямой, заключаем: 1° что через любую точку кривой двоякой кривизны четвертого порядка можно вообще провести три плоскости, прикасающиеся к этой кривой в трех других точках и 2° что три последние точки лежат в одной плоскости с той, через которую были проведены три плоскости.
