Двѣнадцать теоремъ 45—56 содержатъ въ себѣ также общее соотношеніе между двумя парами сопряженныхъ точекъ, центромъ и еще какою-нибудь точкой. Теоремы 41, 42 и 43 представляютъ слѣдствія предыдущихъ, какъ болѣе общихъ.
Наконецъ, теоремы 61, 62 и 64 выражаютъ собою любопытное свойство наибольшихъ и наименьшихъ по отношенію къ двумъ парамъ сопряженныхъ точекъ и къ двойной точкѣ; это свойство состоитъ въ томъ, что отношеніе произведеній разстояній двойной точки отъ сопряженныхъ точекъ есть наибольшее или наименьшее.
Посредствомъ весьма красиваго построенія Паппъ даетъ геометрическое выраженіе этого отношенія и говоритъ только, что оно есть наибольшее или наименьшее, доказательство же находилось въ самомъ сочиненіи Аполлонія. Утрата геометрическаго доказательства въ этой задачѣ о наиболынихъ и наименынихъ величинахъ, въ томъ видѣ, какъ оно было дано самими древними, есть истинная для насъ потеря; хотя оно и для новаго анализа не представляетъ никакихъ затрудненій. Этотъ вопросъ былъ однимъ изъ первыхъ, послужившихъ Фермату приложеніемъ его превосходнаго способа de maximis et minimis. (Opera mathematica, p. 67).
35. Намъ кажется, что предложенный нами разборъ 43 леммъ Паппа знакомитъ съ ихъ общимъ характеромъ и можетъ облегчить ихъ пониманіе. Мы видимъ, что одна и та же теорема высказывается обыкновенно во многихъ отдѣльныхъ предложеніяхъ, и это зависитъ единственно отъ того, что различные способы выраженія предложеній соотвѣтствуютъ особымъ чертежамъ, различающимся между собою только положеніемъ разсматриваемыхъ точекъ. Это различіе въ относительномъ положеніи данныхъ и искомыхъ точекъ послужило поводомъ къ самому названію сочиненія Аполлонія: de sectione determinata; разные же случаи, представляющіеся при различномъ положеніи точекъ, этотъ геометръ, а за нимъ и Паппъ, обозначали именемъ έπίταγμα [1].
- ↑ Таково мнѣніе Галлея и Р. Симсона. Ученый Коммандинъ не могъ опредѣлить значенія этого слова, употребляемаго въ нѣкоторыхъ теоремахъ Аполлонія (Collect. math. стр. 296 въ изд. 1660 г.). Слово μοναχοί, встрѣчающееся также у Паппа, употреблялось, какъ кажется, Аполлоніемъ для обозначенія теоремъ, относящихся къ maxima и minima.
