Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/13

которыя въ своихъ многочисленныхъ слѣдствіяхъ заключаютъ 15 теоремъ Паппа, относящихся къ первой книгѣ поризмъ Евклида и изъ которыхъ слѣдовательно можно вывести эти послѣднія.

Изъ этихъ же двухъ предложеній проистекаютъ многія системы координатъ и, между прочимъ, система Декарта. Отсюда видна уже несомнѣнная связь между поризмами Евклида и нашими системами координатъ — связь, служащая первымъ подтвержденіемъ идей, высказанныхъ нами по поводу ученія о поризмахъ.

Два предложенія, о которыхъ мы говоримъ и которыя мы представляемъ въ формѣ поризмъ, суть слѣдующія.

Первая поризма. Возьмемъ на плоскости двѣ точки $P$ и $P_{1}$, двѣ сѣкущія, встрѣчающіяся съ прямою $PP_{1}$ въ точкахъ $E$ и $E_{1}$, и на этихъ сѣкущихъ двѣ постоянныя точки $O$ и $O_{1}$; если изъ каждой точки какой-нибудь данной прямой будемъ проводить къ точкамъ $P$ и $P_{1}$ прямыя, пересѣкающіяся съ сѣкущими $EO$ и $E_{1}O_{1}$ въ точкахъ $a$ и $a_{1}$, то можно опредѣлить два такія количества $\lambda$ и $\mu$, чтобы постоянно существовало соотношеніе:

${\frac {Oa}{Ea}}+\lambda {\frac {O_{1}a_{1}}{E_{1}a_{1}}}=\mu$

(1.)

Вторая поризма. На плоскости проведены двѣ неподвижныя прямыя, пересѣкающіяся въ точкѣ $S$; на этихъ двухъ прямыхъ взяты двѣ неподвижныя точки $O$ и $O_{1}$; если около какой-нибудь данной точки будемъ обращать сѣкущую, пересѣкающую двѣ неподвижныя прямыя въ точкахъ $a$ и $a_{1}$, то можно найти два такія количества $\lambda$ и $\mu$, что постоянно будетъ существовать соотношеніе

${\frac {Oa}{Sa}}+\lambda {\frac {O_{1}a_{1}}{S_{1}a_{1}}}=\mu$

(2.)

Обратныя предложенія также справедливы, т. е.

1. Если между отрѣзками, образуемыми двумя перемѣнными точками $a$ и $a_{1}$ на двухъ неподвижныхъ прямыхъ $EO$ и $E_{1}O_{1}$ существуетъ соотношеніе (1), то геометрическое мѣсто точки пересѣченія прямыхъ $Pa$ и $P_{1}a_{1}$ будетъ прямая, положеніе которой, вполнѣ опредѣляется двумя постоянными $\lambda$ и $\mu$.