Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/319

Если между этими данными существуетъ соотношеніе:

${\frac {OS}{ES}}+\lambda {\frac {O'S}{E'S}}=\mu$,

гдѣ $S$ есть точка пересѣченія двухъ сѣкущихъ, то коническое сѣченіе обращается въ одну точку; т.-е. прямая $aa'$ будетъ во всѣхъ своихъ положеніяхъ проходить черезъ одну и ту же точку.

Это, напримѣръ, будетъ, когда точки $E$, $E'$ помѣстимъ въ точкѣ $S$ пересѣченія сѣкущихъ. Тогда уравненіе

${\frac {Oa}{Sa}}+\lambda {\frac {O'a'}{Sa'}}=\mu$

выражаетъ одну точку.

Мы еще возвратимся въ другомъ мѣстѣ къ теоремѣ, составляющей предметъ этого Примѣчанія. Тамъ мы будемъ разсматривать ее какъ свойство гомографическихъ фигуръ и изложимъ ее въ иномъ видѣ, обнаруживающемъ многочисленность ея приложеній; именно:

Когда двѣ прямыя на плоскости раздѣлены гомографически, то прямыя, соединяющія точки дѣленія соотвѣтствующими точками другой огибаютъ коническое сѣченіе, касающееся двухъ данныхъ прямыхъ.

Въ предыдущей теоремѣ можно систему двухъ сѣкущихъ замѣнить окружностію круга. Тогда получается такая теорема:

Даны какія-нибудь четыре постоянныя точки $O,\,E,\,O',\,E'$ на окружности; если будемъ брать на этой окружности двѣ перемѣнныя точки $a,\,a'$ такъ, чтобы всегда существовало соотношеніе:

${\frac {\sin {\frac {aO}{2}}}{\sin {\frac {aE}{2}}}}+\lambda {\frac {\sin {\frac {a'O'}{2}}}{\sin {\frac {a'E'}{2}}}}=\mu$,

гдѣ $\lambda$ и $\mu$ — постоянныя:

Тот же текст в современной орфографии

Если между этими данными существует соотношение:

${\frac {OS}{ES}}+\lambda {\frac {O'S}{E'S}}=\mu$,

где $S$ есть точка пересечения двух секущих, то коническое сечение обращается в одну точку; т. е. прямая $aa'$ будет во всех своих положениях проходить через одну и ту же точку.

Это, например, будет, когда точки $E$, $E'$ поместим в точке $S$ пересечения секущих. Тогда уравнение

${\frac {Oa}{Sa}}+\lambda {\frac {O'a'}{Sa'}}=\mu$

выражает одну точку.

Мы еще возвратимся в другом месте к теореме, составляющей предмет этого Примечания. Там мы будем рассматривать ее как свойство гомографических фигур и изложим ее в ином виде, обнаруживающем многочисленность её приложений; именно:

Когда две прямые на плоскости разделены гомографически, то прямые, соединяющие точки деления соответствующими точками другой огибают коническое сечение, касающееся двух данных прямых.

В предыдущей теореме можно систему двух секущих заменить окружностью круга. Тогда получается такая теорема:

Даны какие-нибудь четыре постоянные точки $O,\,E,\,O',\,E'$ на окружности; если будем брать на этой окружности две переменные точки $a,\,a'$ так, чтобы всегда существовало соотношение:

${\frac {\sin {\frac {aO}{2}}}{\sin {\frac {aE}{2}}}}+\lambda {\frac {\sin {\frac {a'O'}{2}}}{\sin {\frac {a'E'}{2}}}}=\mu$,

где $\lambda$ и $\mu$ — постоянные: