Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/35

Эта страница была вычитана

На основаніи закона статики имѣемъ:

{\frac {aB}{aC}}={\frac {C'}{a'+C'}};\quad C'=A'{\frac {Ab}{Cb}}

.

Вѣсы $a'$ и $C'$ могутъ быть замѣнены однимъ вѣсомъ $a'+C'$ , помѣщеннымъ въ $B$ ; сравнивая его съ $A'$ , получимъ:

a'+C'=A'{\frac {Ac}{Bc}}

и потому

{\frac {aB}{aC}}={\frac {Ab}{Ac}}{\frac {Bc}{Cb}}

, или

aB.bC.cA=aC.cB.bA

,

что и имѣлось въ виду доказать.

Перейдемъ къ другой теоремѣ. Надобно доказать, что если три прямыя, исходящія изъ вершинь треугольника, проходятъ черезъ одну и ту же точку, то отрѣзки образуемые ими на противоположныхъ сторонахъ, таковы, что произведеніе трехъ изъ нихъ не имѣющихъ общихь конечныхь точекъ, равно произведенію трехъ остальныхъ.

Пусть будетъ $ABC$ треугольникъ, $A\alpha ,\,B\beta ,\,C\gamma$ три прямыя, проходящія черезъ точку $D$ и встрѣчающіяся съ противолежащими сторонами треугольника въ точкахъ $\alpha ,\,\beta ,\,\gamma$ . Помѣстимъ въ $A$ матеріальную точку, масса которой $A'$ произвольна, а въ $B$ и $C$ двѣ другія матеріальныя точки, массы которыхъ $B'$ и $C'$ таковы, что центръ тяжести массъ $A',\,B'$ находится въ $\gamma$ , a центръ тяжести массъ $A',\,C'$ — въ $\beta$ . Центръ тяжести трехъ массъ будетъ въ точкѣ пересѣченія прямыхъ $B\beta ,\,C\gamma$ , т. е. въ $D$ . Отсюда слѣдуетъ, что точка $\alpha$ будетъ центромъ тажести массъ $B',\,C'$ , такъ что