опредѣленномъ положеніи; положимъ, что на ней въ находится въ этомъ положеніи движущаяся точка, абсцисса которой будетъ пропорціональна вращенію плоскости кривой отъ начала движенія; это вращеніе будетъ измѣряться угломъ, образуемымъ слѣдомъ вращающейся плоскости на плоскости горизонтальной сь неподвижною осью, обозначающею начало движенія; пусть будетъ этотъ уголъ; мы будемъ имѣть:
- , и слѣдовательно .
Пусть будетъ проложеніе точки М на горизонтальную плоскость, и пересѣченіе оси вращенія съ этою плоскостію. Радіусъ , который означимъ черезъ , равенъ ординатѣ точки ; такимъ образомъ между этимъ радіусомъ и угломъ его съ неподвижною осью, о которой мы говорили, получается соотношеніе .
Это соотношеніе есть ничто иное, какъ полярное уравненіе проложенія кривой двоякой кривизны, начерченной на поверхности вращенія.
Замѣтимъ теперь, что перпендикуляръ, опущенный изъ движущейся точки на ось вращенія, образуетъ поверхность винта съ четыреугольною нарѣзкою, или, какъ ее называютъ, винтовую поверхность (héliçoïde rampante); дѣйствительно, этотъ перпендикуляръ остается постоянно горизонтальнымъ и поднимается равномѣрно надъ горизонтальною плоскостію въ то время, какъ заключающая его вертикальная плоскость вращается равномѣрно около оси.
Итакъ, кривая, образуемая точкою , есть пересѣченіе поверхности вращенія съ винтовою поверхностью.
Отсюда проистекаетъ слѣдующая теорема:
1° Всякая спираль (мы называемъ спиралью всякую кривую, изображаемую уравненіемъ между полярными координатами и ) можетъ быть разсматриваема какъ проложеніе пересѣченія винтовой поверхности съ нѣкоторою, надлежащимъ образомъ опредѣленною, поверхностію вращенія; причемъ общей осью этимъ
