Логариѳмика имѣетъ постоянный субтангенсъ по направленію асимптоты, т. е. , слѣдовательно въ логариѳмической спирали будетъ
- , или
Но представляетъ тангенсъ угла касательной къ спирали съ радіусомъ-векторомъ и потому этотъ уголъ будетъ постоянный, т. е. Въ логариѳмической спирали касательная дѣлаетъ постоянный уголъ съ радіусомъ векторомъ.
Такъ какъ пропорціональна , то ясно, что, если отложимъ на радіусѣ-векторѣ линію равную субтангенсу, то конецъ этой линіи будетъ лежать на логариѳмической спирали, подобной съ данною; если поворотимъ эту спираль на четверть окружности около центра, то всѣ ея радіусы векторы совпадутъ съ соотвѣтствующими субтангенсами данной спирали; слѣдовательно основанія касательныхъ (точки ) логариѳмической спирали лежатъ на другой подобной ей спирали. Но двѣ подобныя логариѳмическія спирали необходимо равны между собою, потомучто въ нихъ углы касательныхъ съ радіусами векторами одинаковы, а каждому данному углу соотвѣтствуетъ только одна спираль; такимъ образомъ мы можемъ высказать слѣдующую теорему:
Въ логариѳмической спирали основанія касательнымъ лежатъ на совершенно такой же логариѳмической спирали, только иначе расположенной.
Это же свойство принадлежитъ и основаніямъ субнормалей.
Радіусы кривизны спиралей. Разсматривая спираль, какъ сѣченіе прямаго цплиндра, ироходящаго черезъ кривую пересѣченія поверхности вращенія съ винтовою поверхностью, легко найти, при помощи теоремъ Эйлера и Менье, для каждой точки величину радіуса кривизны въ функціи радіуса кривизны меридіаннаго сѣченія поверхности вращенія. Чтобы сократить настоящее Примѣчаніе, мы опускаемъ здѣсь это построеніе, къ которому возвратимся въ другое время.
До другаго сочиненія откладываемъ также построеніе квадратриксъ, сходное съ построеніемъ спирилей.
