Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/49

Замѣтимъ, что уравненіе, написанное выше, обращается, по уничтоженіи знаменателей, въ

$ab.cd-ac.bd+bc.ad=0$

и представляетъ общее соотношеніе между какими-нибудь четырьмя точками, лежащими на одной прямой.

Соотношеніе это было доказано Эйлеромъ алгебраически и геометрически. Первый способъ доказательства состоитъ въ томъ, что вмѣсто нѣкоторыхъ множителей вставляются ихъ выраженія въ функціи другихъ и такимъ образомъ уравненіе обращается въ тождество. При второмъ доказательствѣ составляется чертежъ, изображающій три прямоугольника, входящіе въ уравненіе, и легко обнаруживается, что одинъ изъ нихъ равенъ суммѣ двухъ другихъ (Петербургскіе Novi Commentarii, томъ I, 1747 и 1748 года. Variae demonstrationes Geometrirae).

Понселе также доказалъ это соотношеніе въ Mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. (Journal von Crelle, t. III, p. 269).

По отношенію къ четыремъ прямымъ, исходящимъ изъ одной точки, кругъ имѣетъ свойство, сходное съ тѣмъ, которое принадлежитъ двумъ прямымъ трансверсалямъ и которое выражается уравненіями (A) и (B).

Это свойство состоитъ въ томъ, что

Если четыре прямыя, исходящія изъ одной точки, встрѣчаютъ окружность: первая въ $a,\,a'$, вторая въ $b,\,b'$, третья въ $c,\,c'$ и четвертая въ $d,\,d'$, то получается соотношеніе

${\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}ca}{\sin {\tfrac {1}{2}}cb}}:{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}da}{\sin {\tfrac {1}{2}}db}}={\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}c'a'}{\sin {\tfrac {1}{2}}c'b'}}:{\frac {\sin {\tfrac {1}{2}}d'a'}{\sin {\tfrac {1}{2}}d'b'}}$

Это уравненіе соотвѣтствуетъ первому изъ уравненій (A). Такимъ же образомъ получимъ уравненія подобныя двумъ другимъ уравненіямъ (A) и три уравненія, подобныя уравненіямъ (B).

Это свойство круга ведетъ ко многимъ новымъ предложеніямъ.

Мы приглашаемъ геометровъ обратить полное вниманіе на понятіе объ ангармоническомъ отношеніи, которое, несмотря на то,