различные отрѣзки, входящіе въ составъ разсматриваемаго уравненія. Но подобное подтвержденіе a posteriori приходится дѣлать ощупью; оно продолжительно и вовсе не изящно.
Поэтому, для доказательства, что каждое изъ семи уравненій (A) и (B) заключаетъ въ себѣ шесть другихъ, пользуются однимъ геометрическимъ свойствомъ шести точекъ въ инволюціи, именно тѣмъ, что черезъ нихъ можно провести четыре стороны и двѣ діагонали четыреугольника. Такъ поступали Бріаншонъ и Понселе.
Мы нашли, что понятіе объ ангармоническомъ отношеніи четытрехъ точекъ ведетъ къ болѣе прямому и еще болѣе простому доказательству и доставляетъ много другихъ соотношеній, которыя также какъ уравненія (A) и (B), будутъ имѣть свою долю пользы. Объ этомъ предметѣ мы будемъ говорить во второй части настоящаго Примѣчанія.
7. Уравненія (А) между восемью отрѣзками составляются очень просто. Но не такъ легко съ перваго взгляда замѣтить и выразить составъ уравненій (B), въ каждое изъ которыхъ входятъ только шесть отрѣзковъ. Вотъ правило, которое, намъ кажется, безъ большаго труда можно удержать въ памяти.
Возьмемъ три точки , принадлежащія къ тремъ парамъ; каждая изъ нихъ въ совокупности съ точками, сопряженными двумъ другимъ, опредѣляетъ два отрѣзка; такихъ отрѣзковъ будетъ слѣдовательно шесть; произведеніе трехъ изъ этихъ отрѣзковъ, не имѣющихъ общихъ конечныхъ точекъ, равно произведенію трехъ остальныхъ.
8. Разсмотримъ четвертую пару сопряженныхъ точекъ и и положимъ, что онѣ составляютъ инволюцію съ четырьмя точками и , будемъ имѣть уравненіе
- .
Сравнивая это уравненіе съ третьимъ изъ уравненій (A), найдемъ:
- .
