Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/63

Если возьмемъ средины $\alpha ,\,\beta$ отрѣзковъ $AA',\,BB'$, то это соотношеніе приметъ такой видъ:

$mA.mA'-mB.mB'=2\alpha \beta .mO$.

19. Предпологая, что точка $m$ сливается послѣдовательно съ $A,\,A',\,B,\,B'$ получимъ, какъ частные случаи, соотношенія между пятью точками $A,\,A',\,B,\,B'$ и $O$, которыя также были доказаны Паппомъ въ предложеніяхъ 41, 42 и 43.

Свойства геометрическія.

20. Самое древнее геометрическое свойство инволюціи шести точекъ находимъ у Паппа въ 130-мъ предложеніи седьмой книги, изъ котораго видно, что если четыре стороны и двѣ діагонали четыреугольника пересѣчены какою-нибудь сѣкущею въ шести точкахъ $A,\,A',\,B,\,B'$ и $C,\,C'$, изъ которыхъ двѣ первыя относятся къ двумъ противоположнымъ сторонамъ, двѣ слѣдующія къ другимъ двумъ противоположнымъ сторонамъ, наконецъ двѣ послѣднія къ двумъ діагоналямъ, то отрѣзки, получаемыя между этими точками, удовлетворяютъ уравненіямъ (B).

Изъ этого предложенія очевидно слѣдуетъ, что и обратно, если одно изъ уравненій (B) имѣетъ мѣсто, то черезъ шесть точекъ можно провести четыре стороны и двѣ діагонали четыреугольника; а отсада заключаемъ, что тогда, на основаніи предложенія Паппа, и три остальныя уравненія (B) будутъ удовлетворяться.

Вотъ какимъ образомъ при помощи геометрическаго предложенія Паппа доказывается ариометическое свойство инволюціи шести точекъ, состоящее въ томъ, что каждое изь уравненій (B) заключаетъ въ себѣ остальныя.

Такъ какъ отъ сочетанія этихъ уравненій получаются прямо уравненія (A), то въ этомъ же предложеніи Паппа заключается доказательство того, что шесть точекъ пересѣченія произвольной сѣкущей съ четырьмя сторонами и двумя діагоналями четыреугольника удовлетворяютъ соотношеніямъ, выраженнымъ уравненіями (A).

21. Доказательство теоремы Паппа не трудно; но, пользуясь тѣмъ, что инволюціонное отношеніе проективно, можно еще болѣе