Страница:Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов (Шаль) 2.djvu/69

${\frac {CA}{CB}}:{\frac {B'A}{B'B}}={\frac {C'A'}{C'B'}}:{\frac {BA'}{BB'}}$

${\frac {CA}{CB'}}:{\frac {AB}{AB'}}={\frac {C'A'}{C'B}}:{\frac {A'B'}{A'B}}$

или

$CA.A'B.B'C'=C'A'.AB'.BC$

${\frac {BA.BA'}{BC.BC'}}={\frac {B'A.B'A'}{B'C.B'C'}}$

Подобнымъ же образомъ второе изъ тѣхъ уравненій показываетъ, что четыре точки $A,\,B',\,C,\,A'$ имѣютъ одинаковое ангармоническое отношеніе съ четырьмя соотвѣтствующими имъ точками $A',\,B,\,C',\,A$ и потому мы имѣемъ два другія уравненія:

${\frac {CA}{CA'}}:{\frac {B'A}{B'A'}}={\frac {C'A'}{C'A}}:{\frac {BA'}{BA}}$

${\frac {CB'}{CA'}}:{\frac {AB'}{AA'}}={\frac {C'B}{C'A}}:{\frac {A'B}{A'A}}$;

или

${\frac {AC.AC'}{AB.AB'}}={\frac {A'C.A'C'}{A'B.A'B'}}$

$CB'.BA'.AC'=C'B.B'A.A'C$.

Итакъ семь уравненій (A) и (B) слѣдуютъ изъ даннаго нами опредѣленія инволюціи шести точекъ.

34. Мы видѣли, что уравненіе

$CA.A'B'.BC'=C'A'.AB.B'C$

выражаетъ въ одно и то же время три равенства ангармоническихъ отношеній; именно для четырехъ точекъ $A,\,B,\,C,\,C'$ и ихъ соотвѣтствующихъ $A',\,B',\,C',\,C$; для четырехъ точекъ $A,\,B,\,C,\,B'$ и ихъ соотвѣтствующихъ; наконецъ для четырехъ точекъ $A,\,B',\,C,\,A'$ и ихъ соотвѣтствующихъ.

Каждое другое изъ уравненій (B) точно также выражаетъ равенство ангармоническихъ отношеній въ трехъ различныхъ