Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/106

Гипергеометрическимъ уравненіемъ называется уравненіе:

$z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {du}{dz}}-\alpha \beta u=0.$

(44)

‎Одинъ изъ частныхъ интеграловъ этого уравненія въ области точки 0 разлагается въ такой рядъ:

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)=1+{\frac {\alpha \beta }{1\,.\gamma }}z+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\,.\,2\,.\gamma (\gamma +1)}}z^{2}+\ldots ,$

(45)

‎называемый гипергеометрическимъ рядомъ.

Ясно, что функція, изображаемая рядомъ (45), существуетъ и за предѣлами сходимости этого ряда; но тамъ она выражается иначе.

Въ рядѣ (45) коэффиціенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ могутъ быть какія угодно количества дѣйствительныя или мнимыя, лишь бы $\gamma$ не было цѣлымъ отрицательнымъ числомъ; но въ нашей работѣ мы будемъ считать ихъ дѣйствительными.

Въ такомъ случаѣ при дѣйствительномъ $z$ величина функціи $F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$ будетъ непремѣнно дѣйствительная.

Кругомъ сходимости ряда (45) служитъ кругъ, описанный изъ начала координатъ радіусомъ, равнымъ 1.

Критическими точками интеграловъ уравненія (44) служатъ: 0, 1, $\infty$.

Черт. 2Выдѣлимъ на плоскости $z$ слѣдующія области:

1) Область, лежащая внутри круга, описаннаго изъ начала координатъ радіусомъ равнымъ 1 (черт. 2).

2) Область, лежащая внутри круга, описаннаго изъ точки $+1$ радіусомъ равнымъ 1.

3) Область, лежащая внѣ круга, описаннаго изъ начала координатъ радіусомъ равнымъ 1.

Для краткости мы будемъ ихъ называть такъ: область I, область II, область III.

Тот же текст в современной орфографии

Гипергеометрическим уравнением называется уравнение:

$z(1-z){\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+[\gamma -(\alpha +\beta +1)z]{\frac {du}{dz}}-\alpha \beta u=0.$

(44)

‎Один из частных интегралов этого уравнения в области точки 0 разлагается в такой ряд:

$F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)=1+{\frac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}z+{\frac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}z^{2}+\ldots ,$

(45)

‎называемый гипергеометрическим рядом.

Ясно, что функция, изображаемая рядом (45), существует и за пределами сходимости этого ряда; но там она выражается иначе.

В ряде (45) коэффициенты $\alpha ,\ \beta ,\ \gamma$ могут быть какие угодно количества: действительные или мнимые, лишь бы $\gamma$ не было целым отрицательным числом; но в нашей работе мы будем считать их действительными.

В таком случае при действительном $z$ величина функции $F(\alpha ,\;\beta ,\;\gamma ,\;z)$ будет непременно действительная.

Кругом сходимости ряда (45) служит круг, описанный из начала координат радиусом, равным 1.

Критическими точками интегралов уравнения (44) служат: 0, 1, $\infty$.

Черт. 2Выделим на плоскости $z$ следующие области:

1) Область, лежащая внутри круга, описанного из начала координат радиусом равным 1 (черт. 2).

2) Область, лежащая внутри круга, описанного из точки $+1$ радиусом равным 1.

3) Область, лежащая вне круга, описанного из начала координат радиусом равным 1.

Для краткости мы будем их называть так: область I, область II, область III.