Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/132

Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ суть два смежныхъ треугольника на плоскости; общая сторона ихъ $u_{0}\ u_{1}$. Пусть соотвѣтствующіе имъ треугольники на сферѣ суть: $U_{0}\ U_{1}\ U_{\infty }$ и $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{\infty }$. Они, какъ мы знаемъ, симметричны въ элементарномъ смыслѣ относительно общей стороны $U_{0}\ U_{1}$. Повернемъ сферу около ея центра такъ, чтобы сторона $U_{0}\ U_{1}$ прошла черезъ сѣверный полюсъ. Тогда дуга $U_{0}\ U_{1}$ въ новомъ положеніи будетъ проектироваться на плоскость въ видѣ прямой $u'_{0}\ u'_{1}$, треугольники же $U_{0}\ U_{1}\ U_{\infty }$ и $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{\infty }$ въ новомъ положеніи будутъ проэктироваться въ видѣ треугольниковъ $u'_{0}\ u'_{1}\ u'_{\infty }$ и $u'_{0}\ u'_{1}\ {\bar {u}}'_{\infty }$, симметричныхъ въ элементарномъ смыслѣ относительно ихъ общей прямолинейной стороны $u'_{0}\ u'_{1}$.

Фигура $u'_{0}\ u'_{1}\ u'_{\infty }\ {\bar {u}}'_{\infty }$ получается изъ фигуры $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }\ {\bar {u}}_{\infty }$ линейнымъ преобразованіемъ, соотвѣтствующимъ сдѣланному нами повороту сферы. Такъ какъ линейное преобразованіе не нарушаетъ симметріи, то мы приходимъ къ заключенію, что треугольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ симметричны относительно общей стороны $u_{0}\ u_{1}$.

И такъ, мы построили на плоскости четыре типа сѣти треугольниковъ. Каждая изъ этихъ сѣтей покрываетъ собою всю плоскость, содержитъ въ себѣ конечное число треугольниковъ, углы этихъ треугольниковъ равны:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$

‎гдѣ $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть цѣлыя числа, величины которыхъ даны въ таблицѣ (73).

Каждый типъ сѣтей треугольниковъ соотвѣтствуетъ одному изъ названныхъ выше видовъ многогранниковъ. Смотря по тому, къ какому изъ этихъ типовъ принадлежитъ данная сѣть, мы будемъ ее называть двупирамидной, тетраэдрической, октаэдрической или икосаэдрической сѣтью.

Сравнивая таблицу (73) съ таблицей (72), мы замѣчаемъ, что величины $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ приведенныя въ нихъ—одинаковы.

Тот же текст в современной орфографии

Пусть $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ суть два смежных треугольника на плоскости; общая сторона их $u_{0}\ u_{1}$. Пусть соответствующие им треугольники на сфере суть: $U_{0}\ U_{1}\ U_{\infty }$ и $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{\infty }$. Они, как мы знаем, симметричны в элементарном смысле относительно общей стороны $U_{0}\ U_{1}$. Повернем сферу около ее центра так, чтобы сторона $U_{0}\ U_{1}$ прошла через северный полюс. Тогда дуга $U_{0}\ U_{1}$ в новом положении будет проектироваться на плоскость в виде прямой $u'_{0}\ u'_{1}$, треугольники же $U_{0}\ U_{1}\ U_{\infty }$ и $U_{0}\ U_{1}\ {\bar {U}}_{\infty }$ в новом положении будут проектироваться в виде треугольников $u'_{0}\ u'_{1}\ u'_{\infty }$ и $u'_{0}\ u'_{1}\ {\bar {u}}'_{\infty }$, симметричных в элементарном смысле относительно их общей прямолинейной стороны $u'_{0}\ u'_{1}$.

Фигура $u'_{0}\ u'_{1}\ u'_{\infty }\ {\bar {u}}'_{\infty }$ получается из фигуры $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }\ {\bar {u}}_{\infty }$ линейным преобразованием, соответствующим сделанному нами повороту сферы. Так как линейное преобразование не нарушает симметрии, то мы приходим к заключению, что треугольники $u_{0}\ u_{1}\ u_{\infty }$ и $u_{0}\ u_{1}\ {\bar {u}}_{\infty }$ симметричны относительно общей стороны $u_{0}\ u_{1}$.

Итак, мы построили на плоскости четыре типа сети треугольников. Каждая из этих сетей покрывает собой всю плоскость, содержит в себе конечное число треугольников, углы этих треугольников равны:

${\frac {\pi }{\lambda }},\;{\frac {\pi }{\lambda _{1}}},\;{\frac {\pi }{\lambda _{2}}},$

‎где $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$ суть целые числа, величины которых даны в таблице (73).

Каждый тип сетей треугольников соответствует одному из названных выше видов многогранников. Смотря по тому, к какому из этих типов принадлежит данная сеть, мы будем ее называть двупирамидной, тетраэдрической, октаэдрической или икосаэдрической сетью.

Сравнивая таблицу (73) с таблицей (72), мы замечаем, что величины $\lambda ,\ \lambda _{1},\ \lambda _{2}$, приведенные в них, — одинаковы.