Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/17

и упрощенію общей задачи объ алгебраическихъ уравненіяхъ, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ. Помѣщенное въ этой главѣ изложеніе нѣкоторыхъ свойствъ группъ линейныхъ подстановокъ заимствовано мною въ мемуарѣ Пуанкаре а изложеніе нѣкоторыхъ свойствъ аутоморфныхъ функцій заимствовано у Клейна въ Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen. За исключеніемъ этихъ двухъ подготовительныхъ параграфовъ остальное въ этой главѣ оригинально. Оказывается, что всякое уравненіе, разрѣшимое въ гипергеомотрическихъ функціяхъ, можетъ быть получено раціональнымъ или ирраціональнымъ преобразованіемъ уравненія вида (A). При этомъ задача всегда можетъ быть приведена къ раціональному преобразованію уравненія (A). Раціональное преобразованіе въ свою очередь распадается на два:

1) раціональное преобразованіе уравненія (A), понижающее его степень относительно неизвѣстной функціи, не измѣняя степени его относительно независимаго перемѣннаго. Въ результатѣ получается уравненіе вида:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(B)

‎гдѣ $\zeta$ есть новая неизвѣстная функція, $F_{1}$, $F_{2}$, $F$ суть цѣлые многочлены;

2) раціональное преобразованіе уравненія (B), не измѣняющее его степень относительно неизвѣстной функціи и, вообще говоря, мѣняющее его степень относительно независимаго перемѣннаго $z$. Въ результатѣ получается окончательное уравнаніе:

$\Psi (Y,\ z)=0,$

(C)

‎разрѣшимое въ гипергеометрическихъ функціяхъ.

Наибольшій интересъ и важность представляетъ первое изъ этихъ преобразованій. Такихъ преобразованій существуетъ весьма ограниченное число и каждое изъ нихъ соотвѣтствуетъ опредѣленной подгруппѣ группы уравненія (A).

Тот же текст в современной орфографии

и упрощению общей задачи об алгебраических уравнениях, разрешимых в гипергеометрических функциях. Помещенное в этой главе изложение некоторых свойств групп линейных подстановок заимствовано мною из мемуара Пуанкаре, а изложение некоторых свойств автоморфных функций заимствовано у Клейна из Vorlesungen über die Theorie der elliptischen Modulfunctionen. За исключением этих двух подготовительных параграфов остальное в этой главе оригинально. Оказывается, что всякое уравнение, разрешимое в гипергеомотрических функциях, может быть получено рациональным или иррациональным преобразованием уравнения вида (A). При этом задача всегда может быть приведена к рациональному преобразованию уравнения (A). Рациональное преобразование в свою очередь распадается на два:

1) рациональное преобразование уравнения (A), понижающее его степень относительно неизвестной функции, не изменяя степени его относительно независимого переменного. В результате получается уравнение вида:

$F_{1}(\zeta ):F_{2}(\zeta ):F(\zeta )={\frac {1}{c}}R(z):{\frac {1}{c}}R(z)-1:1,$

(B)

‎где $\zeta$ есть новая неизвестная функция, $F_{1}$, $F_{2}$, $F$ суть целые многочлены;

2) рациональное преобразование уравнения (B), не изменяющее его степень относительно неизвестной функции и, вообще говоря, меняющее его степень относительно независимого переменного $z$. В результате получается окончательное уравнание:

$\Psi (Y,\ z)=0,$

(C)

‎разрешимое в гипергеометрических функциях.

Наибольший интерес и важность представляет первое из этих преобразований. Таких преобразований существует весьма ограниченное число и каждое из них соответствует определенной подгруппе группы уравнения (A).