Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/19

Глава I.

Свойства алгебраическихъ уравненій, имѣющихъ корнями частные интегралы линейнаго дифференціальнаго уравненія втораго порядка.

‎Мы начнемъ изученіе алгебраическихъ уравненій, разрѣшимыхъ въ гипергеометрическихъ функціяхъ, съ разсмотрѣнія свойствъ двухъ классовъ, относящихся сюда уравненій.

Это суть уравненія, корнями которыхъ служатъ: 1) частные интегралы, 2) отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка съ раціональными алгебраическими коэффиціентами.

Если это дифференціальное уравненіе есть гипергеометричеcкое, то ясно само собою, что то алгебраическое уравненіе, которому удовлетворяютъ его интегралы или отношенія интеграловъ, разрѣшимо въ гипергеометрическихъ функціяхъ. Но важно, то, что всѣ уравненія сказанныхъ двухъ классовъ разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ, какъ выяснится въ [[../../Глава II/ДО|главѣ II]].

Предметомъ настоящей I главы нашей работы служитъ изученіе свойствъ перваго изъ двухъ только что указанныхъ классовъ.

§ 1. Основныя свойства.

Пусть алгебраическое уравненіе:

${\mathit {\Phi }}(y,\ z)=0$

(1)

‎степени $m$ имѣетъ корнемъ частный интегралъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка:

Тот же текст в современной орфографии

Глава I.

Свойства алгебраических уравнений, имеющих корнями частные интегралы линейного дифференциального уравнения второго порядка.

‎Мы начнем изучение алгебраических уравнений, разрешимых в гипергеометрических функциях, с рассмотрения свойств двух классов, относящихся сюда уравнений.

Это суть уравнения, корнями которых служат: 1) частные интегралы, 2) отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка с рациональными алгебраическими коэффициентами.

Если это дифференциальное уравнение есть гипергеометричеcкое, то ясно само собой, что то алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют его интегралы или отношения интегралов, разрешимо в гипергеометрических функциях. Но важно, то, что все уравнения сказанных двух классов разрешимы в гипергеометрических функциях, как выяснится в главе II.

Предметом настоящей I главы нашей работы служит изучение свойств первого из двух только что указанных классов.

§ 1. Основные свойства.

Пусть алгебраическое уравнение:

${\mathit {\Phi }}(y,\ z)=0$

(1)

‎степени $m$ имеет корнем частный интеграл линейного дифференциального уравнения 2-го порядка: