Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/21

Тогда мы имѣемъ два тождества:

$\left.{\begin{matrix}a_{0}y_{1}^{m}+a_{1}y^{m-1}+\ldots +a_{m-1}y_{1}+a_{m}=0,\\a_{0}c^{m}y_{1}^{m}+a_{1}c^{m-1}y_{1}^{m-1}+\ldots +a_{m-1}cy_{1}+a_{m}=0.\end{matrix}}\right\}$

(5)

‎Такъ какъ уравненіе (1) по нашему предположенію неприприводимо, то изъ равенствъ (5) слѣдуетъ:

$\left.{\begin{matrix}a_{0}=a_{0}c^{m},\\a_{1}=a_{1}c^{m-1},\\a_{2}=a_{2}c^{m-2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m-1}=a_{m-1}c.\end{matrix}}\right\}$

(6)

‎Такъ какъ $a_{0}$ не есть 0, то

$c^{m}=1,$

‎что и доказываетъ справедливость теоремы: $c$ равно радикалу нѣкоторой степени $\mu$ изъ 1, при чемъ $\mu$ есть дѣлитель степени $m$ уравненія (1).

Обозначивъ корень степени $\mu$ изъ 1 черезъ $j_{\mu }$, имѣемъ:

$c=j_{\mu }.$

‎Изъ тождествъ (5) мы видимъ, что всѣ коэффиціенты $a_{i}$, у которыхъ индексъ $i$ не дѣлится нацѣло на $\mu$, должны равняться нулю—иначе равенства (6) были бы невозможны. Отсюда заключаемъ, что уравненіе (1) таково:

$a_{0}y^{m}+a_{\mu }y^{m-\mu }+a_{2\mu }y^{m-2\mu }+\ldots +a_{m-\mu }y^{\mu }+a_{m}=0.$

(7)

‎Теорема 2. Всѣ отношенія корней (3), взятыхъ попарно, не могутъ быть постоянными.

Допустимъ, что всѣ отношенія корней (3), взятыхъ попарно, оказались постоянными. Тогда эти корни (3) представятся въ такомъ видѣ:

Тот же текст в современной орфографии

Тогда мы имеем два тождества:

$\left.{\begin{matrix}a_{0}y_{1}^{m}+a_{1}y^{m-1}+\ldots +a_{m-1}y_{1}+a_{m}=0,\\a_{0}c^{m}y_{1}^{m}+a_{1}c^{m-1}y_{1}^{m-1}+\ldots +a_{m-1}cy_{1}+a_{m}=0.\end{matrix}}\right\}$

(5)

‎Так как уравнение (1) по нашему предположению неприприводимо, то из равенств (5) следует:

$\left.{\begin{matrix}a_{0}=a_{0}c^{m},\\a_{1}=a_{1}c^{m-1},\\a_{2}=a_{2}c^{m-2},\\\cdots \cdots \cdots \cdots \\a_{m-1}=a_{m-1}c.\end{matrix}}\right\}$

(6)

‎Так как $a_{0}$ не есть 0, то

$c^{m}=1,$

‎что и доказывает справедливость теоремы: $c$ равно радикалу некоторой степени $\mu$ из 1, причем $\mu$ есть делитель степени $m$ уравнения (1).

Обозначив корень степени $\mu$ из 1 через $j_{\mu }$, имеем:

$c=j_{\mu }.$

‎Из тождеств (5) мы видим, что все коэффициенты $a_{i}$, у которых индекс $i$ не делится нацело на $\mu$, должны равняться нулю — иначе равенства (6) были бы невозможны. Отсюда заключаем, что уравнение (1) таково:

$a_{0}y^{m}+a_{\mu }y^{m-\mu }+a_{2\mu }y^{m-2\mu }+\ldots +a_{m-\mu }y^{\mu }+a_{m}=0.$

(7)

‎Теорема 2. Все отношения корней (3), взятых попарно, не могут быть постоянными.

Допустим, что все отношения корней (3), взятых попарно, оказались постоянными. Тогда эти корни (3) представятся в таком виде: