Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/215

Каждое изъ чиселъ:

$\alpha ,\ \beta ,\ m_{3},\ \gamma ,\ \delta ,\ p_{3}$

‎можетъ равняться только 0 или 1, потому что функціи $T_{\text{и}}(u)$ и $H_{\text{и}}(u)$ кратныхъ корней не имѣютъ.

Такъ какъ вершины октаэдра совпадаютъ съ 6 изъ числа 30 срединъ реберъ икосаэдра, а вершины и центры граней тетраэдра совпадаютъ съ 8 изъ числа 20 центровъ граней икосаэдра, то $T_{\text{и}}(u)$ дѣлится на $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$, а $H_{\text{и}}(u)$ дѣлится на $f_{\text{т}}''^{\,2}(u)H_{\text{т}}''^{\,2}(u)$. Поэтому въ равенствахъ (71) показатели $m_{3}$, $\gamma$ и $\delta$ равны 1.

Такъ какъ многочлены $T_{\text{и}}(u)$ и $H_{\text{и}}(u)$ общихъ корней имѣть не могутъ, то показатели: $\alpha$, $\beta$ и $p_{3}$ должны равняться нулю. Теперь не трудно найти, каковы степени формъ $\psi _{1}$ и $\psi _{2}$ относительно $f_{\text{и}}(u)$ и $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$: первая изъ нихъ второй степени, а вторая—первой степени.

Итакъ:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=[af_{\text{и}}^{2}(u)+bf_{\text{и}}(u)f_{\text{о}}''^{\,2}(u)+cf_{\text{о}}''^{\,4}(u)]f''_{\text{о}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=[pf_{\text{и}}(u)+qf_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f''_{\text{т}}(u)H''_{\text{т}}(u).\end{array}}\right\}$

(72)

‎Замѣтивъ, что изъ тождества (55) слѣдуетъ:

$f''_{\text{т}}(u)H''_{\text{т}}(u)=H''_{\text{о}}(u),$

(55')

‎и подставивъ это выраженіе во второе изъ равенствъ (72), мы можемъ затѣмъ опредѣлить числовыя величины постоянныхъ $a,\ b,\ c,\ p,\ q$ черезъ сравненіе коэффиціентовъ.

Вставивъ эти числовыя значенія коэффиціентовъ въ тождества (72), находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,4}(u)-10f_{\text{о}}''^{\,2}(u)f_{\text{и}}(u)+45f_{\text{и}}^{2}(u)]f''_{\text{о}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,2}(u)-3f_{\text{и}}(u)]H''_{\text{о}}(u).\end{array}}\right\}$

(73)

‎X. Возведя въ кубъ обѣ части тождества (55') и замѣнивъ

Тот же текст в современной орфографии

Каждое из чисел:

$\alpha ,\ \beta ,\ m_{3},\ \gamma ,\ \delta ,\ p_{3}$

‎может равняться только 0 или 1, потому что функции $T_{\text{и}}(u)$ и $H_{\text{и}}(u)$ кратных корней не имеют.

Так как вершины октаэдра совпадают с 6 из числа 30 середин ребер икосаэдра, а вершины и центры граней тетраэдра совпадают с 8 из числа 20 центров граней икосаэдра, то $T_{\text{и}}(u)$ делится на $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$, а $H_{\text{и}}(u)$ делится на $f_{\text{т}}''^{\,2}(u)H_{\text{т}}''^{\,2}(u)$. Поэтому в равенствах (71) показатели $m_{3}$, $\gamma$ и $\delta$ равны 1.

Так как многочлены $T_{\text{и}}(u)$ и $H_{\text{и}}(u)$ общих корней иметь не могут, то показатели: $\alpha$, $\beta$ и $p_{3}$ должны равняться нулю. Теперь не трудно найти, каковы степени форм $\psi _{1}$ и $\psi _{2}$ относительно $f_{\text{и}}(u)$ и $f_{\text{о}}''^{\,2}(u)$: первая из них второй степени, а вторая — первой степени.

Итак:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=[af_{\text{и}}^{2}(u)+bf_{\text{и}}(u)f_{\text{о}}''^{\,2}(u)+cf_{\text{о}}''^{\,4}(u)]f''_{\text{о}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=[pf_{\text{и}}(u)+qf_{\text{о}}''^{\,2}(u)]f''_{\text{т}}(u)H''_{\text{т}}(u).\end{array}}\right\}$

(72)

‎Заметив, что из тождества (55) следует:

$f''_{\text{т}}(u)H''_{\text{т}}(u)=H''_{\text{о}}(u),$

(55')

‎и подставив это выражение во второе из равенств (72), мы можем затем определить числовые величины постоянных $a,\ b,\ c,\ p,\ q$ через сравнение коэффициентов.

Вставив эти числовые значения коэффициентов в тождества (72), находим:

$\left.{\begin{array}{l}T_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,4}(u)-10f_{\text{о}}''^{\,2}(u)f_{\text{и}}(u)+45f_{\text{и}}^{2}(u)]f''_{\text{о}}(u),\\H_{\text{и}}(u)=[f_{\text{о}}''^{\,2}(u)-3f_{\text{и}}(u)]H''_{\text{о}}(u).\end{array}}\right\}$

(73)

‎X. Возведя в куб обе части тождества (55') и заменив