Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/225

$ps-qr=1.$

(24)

‎Дадимъ величинѣ ${\bar {u}}$ какое нибудь произвольное значеніе ${\bar {a}}$ и опредѣлимъ соотвѣтствующее ему значеніе $z$ изъ уравненія (22); пусть при ${\bar {u}}={\bar {a}}$ перемѣнное $z$ равно $\alpha$.

Въ такомъ случаѣ:

$\alpha ={\frac {{\bar {H}}^{\lambda _{1}}({\bar {a}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda }({\bar {a}})}}.$

(25)

‎Подставивъ значеніе $z=\alpha$ въ уравненіе (21), находимъ:

$\alpha ={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(26)

‎Положимъ, что намъ удалось рѣшить это нормальное уравненіе и пусть одинъ изъ корней его есть:

$u=a.$

‎Въ такомъ случаѣ между величинами $a$ и ${\bar {a}}$ существуетъ зависимость (23):

${\bar {a}}={\frac {pa+q}{ra+s}}.$

(27)

‎Изъ уравненій (21) и (22) слѣдуетъ:

${\frac {{\bar {H}}^{\lambda _{1}}({\bar {u}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda }({\bar {u}})}}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(28)

‎Дифференцируемъ обѣ части этого уравненія по $u$:

${\begin{matrix}{\dfrac {\left(\lambda _{1}{\bar {f}}({\bar {u}}){\dfrac {d{\bar {H}}({\bar {u}})}{du}}-\lambda {\bar {H}}({\bar {u}}){\dfrac {d{\bar {f}}({\bar {u}})}{du}}\right){\bar {H}}^{\lambda _{1}-1}({\bar {u}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda +1}({\bar {u}})}}{\dfrac {d{\bar {u}}}{du}}=\\={\dfrac {\left(\lambda _{1}f(u){\dfrac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\dfrac {df(u)}{du}}\right)H^{\lambda _{1}-1}(u)}{cf^{\lambda +1}(u)}},\end{matrix}}$

(29)

Тот же текст в современной орфографии

$ps-qr=1.$

(24)

‎Дадим величине ${\bar {u}}$ какое-нибудь произвольное значение ${\bar {a}}$ и определим соответствующее ему значение $z$ из уравнения (22); пусть при ${\bar {u}}={\bar {a}}$ переменная $z$ равна $\alpha$.

В таком случае:

$\alpha ={\frac {{\bar {H}}^{\lambda _{1}}({\bar {a}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda }({\bar {a}})}}.$

(25)

‎Подставив значение $z=\alpha$ в уравнение (21), находим:

$\alpha ={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(26)

‎Положим, что нам удалось решить это нормальное уравнение и пусть один из корней его есть:

$u=a.$

‎В таком случае между величинами $a$ и ${\bar {a}}$ существует зависимость (23):

${\bar {a}}={\frac {pa+q}{ra+s}}.$

(27)

‎Из уравнений (21) и (22) следует:

${\frac {{\bar {H}}^{\lambda _{1}}({\bar {u}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda }({\bar {u}})}}={\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{cf^{\lambda }(u)}}.$

(28)

‎Дифференцируем обе части этого уравнения по $u$:

${\begin{matrix}{\dfrac {\left(\lambda _{1}{\bar {f}}({\bar {u}}){\dfrac {d{\bar {H}}({\bar {u}})}{du}}-\lambda {\bar {H}}({\bar {u}}){\dfrac {d{\bar {f}}({\bar {u}})}{du}}\right){\bar {H}}^{\lambda _{1}-1}({\bar {u}})}{{\bar {c}}{\bar {f}}^{\lambda +1}({\bar {u}})}}{\dfrac {d{\bar {u}}}{du}}=\\={\dfrac {\left(\lambda _{1}f(u){\dfrac {dH(u)}{du}}-\lambda H(u){\dfrac {df(u)}{du}}\right)H^{\lambda _{1}-1}(u)}{cf^{\lambda +1}(u)}},\end{matrix}}$

(29)