Теорема 3. Если одинъ изъ корней уравненія (1) удовлетворятъ дифференціальному уравненію (2), то ему удовлетворятъ всѣ корни уравненія (1).
Изъ уравненія (1) мы имѣемъ:
|
(8) |
|
(9) |
Если корень уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то это значитъ, что имѣетъ мѣсто тождество:
|
(10) |
Слѣдовательно корень уравненія (1) удовлетворяетъ также уравненію
|
(11) |
Вслѣдствіе неприводимости уравненія (1), уравненію (11) должны удовлетворять и всѣ остальные корни уравненія (1); а это и значитъ, что всѣ они удовлетворяютъ дифференціальному уравненію (2).
Теорема 4. Если какой нибудь корень уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то общій интегралъ уравненія (2) представится въ видѣ:
гдѣ и суть постоянныя числа, а и суть любые два корня уравненія (1), отношеніе которыхъ не есть величина постоянная.
Если какой нибудь корень уравненія (1) удовлетворяетъ уравненію (2), то на основаніи теоремы 3 всѣ корни уравненія (1) удовлетворятъ уравненію (2) и будутъ его частными
Теорема 3. Если один из корней уравнения (1) удовлетворяет дифференциальному уравнению (2), то ему удовлетворят все корни уравнения (1).
Из уравнения (1) мы имеем:
|
(8) |
|
(9) |
Если корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то это значит, что имеет место тождество:
|
(10) |
Следовательно корень уравнения (1) удовлетворяет также уравнению
|
(11) |
Вследствие неприводимости уравнения (1), уравнению (11) должны удовлетворять и все остальные корни уравнения (1); а это и значит, что все они удовлетворяют дифференциальному уравнению (2).
Теорема 4. Если какой-нибудь корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то общий интеграл уравнения (2) представится в виде:
где и суть постоянные числа, а и суть любые два корня уравнения (1), отношение которых не есть величина постоянная.
Если какой-нибудь корень уравнения (1) удовлетворяет уравнению (2), то на основании теоремы 3 все корни уравнения (1) удовлетворят уравнению (2) и будут его частными