Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/243

‎выразится формулою:

$u={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{\frac {\pi i}{3}}+{\frac {3}{4{\sqrt {2}}}}e^{\frac {5\pi i}{3}}{\frac {F\left({\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {1}{4}},\;-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}z^{\frac {1}{3}}.$

(97)

‎Имѣя корень $u$ тетраэдрическаго уравненія и зная подстановки второй нормальной тетраэдрической группы, мы можемъ вычислить всѣ корни втораго нормальнаго тетраэдрическаго уравненія^[1].

---

Результаты, полученные нами въ настоящей главѣ, завершаютъ теорію уравненій, имѣющихъ корнями отношенія частныхъ интеграловъ линейнаго дифференціальнаго уравненія 2-го порядка. Мы изучили свойства и нашли нормальные виды этихъ уравненій, нашли критерій, дающій возможность убѣдиться въ томъ, что данное уравненіе принадлежитъ къ названному классу, умѣемъ привести уравненіе къ нормальному виду и, наконецъ, знаемъ, какъ рѣшить уравненіе, приведенное къ нормальному виду. Мы убѣдились въ томъ, что дѣйствительно всѣ уравненія изученнаго класса разрѣшимы въ гипергеометрическихъ функціяхъ и, кромѣ того, нашли, что уравненія всѣхъ типовъ, кромѣ икосаэдрическаго, разрѣшимы въ радикалахъ.

---

1. Рѣшеніе уравненія октаэдрическаго типа приведено у Puchta. Das Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. Denkschriften der Kaiserlichen Akademie in Wien. Bd. 41. Его рѣшеніе аналогично Клейнову рѣшенію икосаэдрическаго уравненія и разнится отъ приведеннаго въ текстѣ.
   ‎Аналогичное рѣшеніе тетраэдрическаго уравненія построить не трудно.

Тот же текст в современной орфографии

‎выразится формулой:

$u={\frac {1}{\sqrt {2}}}e^{\frac {\pi i}{3}}+{\frac {3}{4{\sqrt {2}}}}e^{\frac {5\pi i}{3}}{\frac {F\left({\dfrac {7}{12}},\;{\dfrac {1}{4}},\;{\dfrac {4}{3}},\;z\right)}{F\left({\dfrac {1}{4}},\;-{\dfrac {1}{12}},\;{\dfrac {2}{3}},\;z\right)}}z^{\frac {1}{3}}.$

(97)

‎Имея корень $u$ тетраэдрического уравнения и зная подстановки второй нормальной тетраэдрической группы, мы можем вычислить все корни второго нормального тетраэдрического уравнения^[1].

---

Результаты, полученные нами в настоящей главе, завершают теорию уравнений, имеющих корнями отношения частных интегралов линейного дифференциального уравнения 2-го порядка. Мы изучили свойства и нашли нормальные виды этих уравнений, нашли критерий, дающий возможность убедиться в том, что данное уравнение принадлежит к названному классу, умеем привести уравнение к нормальному виду и, наконец, знаем, как решить уравнение, приведенное к нормальному виду. Мы убедились в том, что действительно все уравнения изученного класса разрешимы в гипергеометрических функциях и, кроме того, нашли, что уравнения всех типов, кроме икосаэдрического, разрешимы в радикалах.

---

1. Решение уравнения октаэдрического типа приведено у Puchta. Das Oktaeder und die Gleichung vierten Grades. Denkschriften der Kaiserlichen Akademie in Wien. Bd. 41. Его решение аналогично Клейнову решению икосаэдрического уравнения и разнится от приведенного в тексте.
   ‎Аналогичное решение тетраэдрического уравнения построить не трудно.