Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/245

Отношеніе двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ $y_{1},\ y_{2}$ уравненія (3):

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u$

(4)

‎есть корень нѣкотораго алгебраическаго уравненія вида (1).

Корни $y_{1}$ и $y_{2}$ могутъ быть выражены, какъ явныя функціи $u$:

$\left.{\begin{matrix}y_{1}=ku{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\\y_{2}=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\end{matrix}}\right\}$

(5)

‎гдѣ $k$ есть нѣкоторое постоянное.

Если $y_{2}$ есть корень уравненія (2), то мы въ правѣ сказать что уравненіе (2) можетъ быть получено изъ уравненія (1) преобразованіемъ неизвѣстнаго:

$y=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(6)

‎Корни уравненія (2) выражаются черезъ корни уравненія (1) при помощи формулъ (6).

Умѣя рѣшить уравненіе (1), мы можемъ найти всѣ корни уравненія (2).

Положивъ:

$y=ke^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta ,$

(7)

‎мы преобразуемъ уравненіе (2) въ новое уравненіе:

$F(\eta ,\;z)=0,$

(8)

Тот же текст в современной орфографии

Отношение двух линейно независимых частных интегралов $y_{1},\ y_{2}$ уравнения (3):

${\frac {y_{1}}{y_{2}}}=u$

(4)

‎есть корень некоторого алгебраического уравнения вида (1).

Корни $y_{1}$ и $y_{2}$ могут быть выражены, как явные функции $u$:

$\left.{\begin{matrix}y_{1}=ku{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\\y_{2}=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz},\end{matrix}}\right\}$

(5)

‎где $k$ есть некоторая постоянная.

Если $y_{2}$ есть корень уравнения (2), то мы вправе сказать, что уравнение (2) может быть получено из уравнения (1) преобразованием неизвестной:

$y=k{\sqrt {\dfrac {T(u)R(z)}{f(u)H(u){\dfrac {dR(z)}{dz}}}}}e^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}.$

(6)

‎Корни уравнения (2) выражаются через корни уравнения (1) при помощи формул (6).

Умея решить уравнение (1), мы можем найти все корни уравнения (2).

Положив:

$y=ke^{-{\frac {1}{2}}\int p_{1}\,dz}\eta ,$

(7)

‎мы преобразуем уравнение (2) в новое уравнение:

$F(\eta ,\;z)=0,$

(8)