Отсюда заключаемъ, что уравненіе (8) должно имѣть одинъ изъ четырехъ видовъ, соотвѣтствующихъ формамъ (41).
Индексы формъ (41) таковы:
|
(42) |
Въ началѣ [[../../Глава I/ДО#§2|§ 2]] мы видѣли, что уравненіе (8) содержитъ неизвѣстное исключительно въ степеняхъ, дѣлящихся на индексъ соотвѣтствующей первичной формы.
Пусть уравненіе (8) соотвѣтствуетъ первичной формѣ:
степени , индекса .
Тогда уравненіе (8) будетъ таково:
|
(43) |
гдѣ:
|
(44) |
суть раціональныя функціи .
Посмотримъ, какъ найти выраженія этихъ функцій.
Коэффиціенты (44) суть цѣлыя, однородныя, симметрическія функціи корней уравненія (43), или, что то же, уравненія (8). Выразивъ ихъ, какъ функціи корней и вставивъ затѣмъ выраженія этихъ корней чрезъ интегралы , мы представимъ каждый изъ коэффиціентовъ (44) въ видѣ цѣлой однородной бинарной формы съ аргументами :
гдѣ |
(45) |
Всѣ формы (45) инваріанты по отношенію къ группамъ бинарныхъ линейныхъ подстановокъ, испытываемыхъ величинами при всевозможныхъ обходахъ на плоскости перемѣннаго .
Это слѣдуетъ изъ того, что коэффиціенты (44) могутъ быть представлены въ видѣ раціональныхъ функцій перемѣннаго .
Что касается коэффиціента
Отсюда заключаем, что уравнение (8) должно иметь один из четырех видов, соответствующих формам (41).
Индексы форм (41) таковы:
|
(42) |
В начале § 2 мы видели, что уравнение (8) содержит неизвестную исключительно в степенях, делящихся на индекс соответствующей первичной формы.
Пусть уравнение (8) соответствует первичной форме:
степени , индекса .
Тогда уравнение (8) будет таково:
|
(43) |
где:
|
(44) |
суть рациональные функции .
Посмотрим, как найти выражения этих функций.
Коэффициенты (44) суть целые, однородные, симметрические функции корней уравнения (43), или, что то же самое, уравнения (8). Выразив их, как функции корней и вставив затем выражения этих корней через интегралы , мы представим каждый из коэффициентов (44) в виде целой однородной бинарной формы с аргументами :
где |
(45) |
Все формы (45) инварианты по отношению к группам бинарных линейных подстановок, испытываемых величинами при всевозможных обходах на плоскости переменной .
Это следует из того, что коэффициенты (44) могут быть представлены в виде рациональных функций переменной .
Что касается коэффициента