Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/259

Положивъ въ формулахъ (51):

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}=u,$

‎находимъ:

$\left.{\begin{array}{l}1-{\dfrac {2{\sqrt {2}}}{u^{3}}}={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}\eta _{1}^{4}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\1+{\dfrac {5{\sqrt {2}}}{u^{3}}}-{\dfrac {1}{u^{6}}}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}\eta _{1}^{6}}}.\end{array}}\right\}$

(52)

‎Исключимъ $u$ изъ уравненій (52):

${\begin{matrix}\eta _{1}^{8}-{\dfrac {2}{3}}{\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}}\eta _{1}^{4}-{\dfrac {8}{27}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta _{1}^{2}\,-\\-\,{\dfrac {1}{27}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}}=0.\end{matrix}}$

(53)

‎Освободивъ это уравненіе отъ радикаловъ и опуская индексъ 1 при $\eta _{1}$, находимъ:

${\begin{matrix}\left(\eta ^{8}-{\dfrac {2^{2}}{3^{2}}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta ^{2}\right)^{3}-{\dfrac {2^{3}}{3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}R'{}^{6}}}\eta ^{12}\,-\\-\,{\dfrac {2}{3^{3}}}\left(\eta ^{8}-{\dfrac {2^{3}}{3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta ^{2}\right){\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}R'{}^{6}}}\eta ^{4}-{\dfrac {1}{3^{9}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}=0.\end{matrix}}$

(54)

‎Это—уравненіе, соотвѣтствующее первичной формѣ:

$f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3}.$

‎Оно, какъ и слѣдовало ожидать, содержитъ въ себѣ неизвѣстное $\eta$ только въ степеняхъ, кратныхъ 6. Свободный членъ его

$-{\dfrac {1}{3^{9}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}},$

‎какъ и должно быть, разнится отъ выраженія

Тот же текст в современной орфографии

Положив в формулах (51):

${\frac {\eta _{1}}{\eta _{2}}}=u,$

‎находим:

$\left.{\begin{array}{l}1-{\dfrac {2{\sqrt {2}}}{u^{3}}}={\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}\eta _{1}^{4}}}{\sqrt[{3}]{R}},\\1+{\dfrac {5{\sqrt {2}}}{u^{3}}}-{\dfrac {1}{u^{6}}}={\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}\eta _{1}^{6}}}.\end{array}}\right\}$

(52)

‎Исключим $u$ из уравнений (52):

${\begin{matrix}\eta _{1}^{8}-{\dfrac {2}{3}}{\dfrac {(R-c)R}{c'R'{}^{2}}}{\sqrt[{3}]{R}}\eta _{1}^{4}-{\dfrac {8}{27}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta _{1}^{2}\,-\\-\,{\dfrac {1}{27}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{4}}}{\sqrt[{3}]{R^{2}}}=0.\end{matrix}}$

(53)

‎Освободив это уравнение от радикалов и опуская индекс 1 при $\eta _{1}$, находим:

${\begin{matrix}\left(\eta ^{8}-{\dfrac {2^{2}}{3^{2}}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta ^{2}\right)^{3}-{\dfrac {2^{3}}{3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}R'{}^{6}}}\eta ^{12}\,-\\-\,{\dfrac {2}{3^{3}}}\left(\eta ^{8}-{\dfrac {2^{3}}{3^{3}}}{\dfrac {(R-c)^{2}R^{2}}{c'{}^{2}R'{}^{3}}}\eta ^{2}\right){\dfrac {(R-c)^{3}R^{4}}{c'{}^{3}R'{}^{6}}}\eta ^{4}-{\dfrac {1}{3^{9}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}}=0.\end{matrix}}$

(54)

‎Это — уравнение, соответствующее первичной форме:

$f(\eta _{1},\;\eta _{2})=\eta _{1}^{4}-2{\sqrt {2}}\eta _{1}\eta _{2}^{3}.$

‎Оно, как и следовало ожидать, содержит в себе неизвестную $\eta$ только в степенях, кратных 6. Свободный член его

$-{\dfrac {1}{3^{9}}}{\dfrac {(R-c)^{6}R^{8}}{c'{}^{6}R'{}^{12}}},$

‎как и должно быть, разнится от выражения