Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/264

‎гдѣ $p_{2},\ p_{3},\ldots \ p_{11},\ q_{6},\ q_{8},\ q_{9},\ldots \ q_{11}$ суть нѣкоторые пока намъ не извѣстные постоянные коэффиціенты.

Коэффиціентъ $A_{120}$, какъ мы знаемъ, разнится отъ $f^{10}(\eta _{1},\;\eta _{2})$ только нѣкоторымъ постояннымъ множителемъ:

$A_{120}=q_{12}f^{10}(\eta _{1},\;\eta _{2}).$

(69)

‎Для опредѣленія постоянныхъ $p_{2},\ p_{3},\ldots \ p_{11},\ q_{6},\ q_{8},\ldots \ q_{12}$ мы могли бы подставить выраженія коэффиціентовъ (68) и (69) въ уравненіе (63) и примѣнить общій пріемъ, указанный выше.

Такой способъ, несомнѣнно, привелъ бы къ цѣли, но потребовалъ бы громадныхъ ариѳметическихъ вычисленій.

Можно нѣсколько упростить эти вычисленія, пользуясь слѣдующими соображеніями^[1].

Въ [[../../Глава IV/ДО#§20|§ 20]] мы нашли основныя подстановки икосаэдрической группы бинарныхъ линейныхъ подстановокъ. Тѣмъ же способомъ можно найти всѣ подстановки этой группы.

Обозначивъ черезъ $\upsilon$ бинарную подстановку:

$\upsilon ={\begin{pmatrix}0&-1\\1,&0\end{pmatrix}},$

(70)

‎соотвѣтствующую неоднородной подстановкѣ:

$U(u)=-{\frac {1}{u}},$

‎мы можемъ изобразить бинарныя подстановки нормальной икосаэдрической группы такими символическими формулами:

1. Этотъ способъ предложенъ Фуксомъ въ его второмъ мемуарѣ: Ueber linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen uun eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Crelles Journal. Bd. 85.
   ‎Онъ значительно проще непосредственнаго сравненія коэффиціентовъ, хотя тоже требуетъ вычисленій очень утомительныхъ. Фуксъ, указавъ на пріемъ, однако не вычислилъ ни одного изъ коэффиціентовъ уравненія.

Тот же текст в современной орфографии

‎где $p_{2},\ p_{3},\ \ldots ,\ p_{11},\ q_{6},\ q_{8},\ q_{9},\ \ldots ,\ q_{11}$ суть некоторые пока нам неизвестные постоянные коэффициенты.

Коэффициент $A_{120}$, как мы знаем, разнится от $f^{10}(\eta _{1},\;\eta _{2})$ только некоторым постоянным множителем:

$A_{120}=q_{12}f^{10}(\eta _{1},\;\eta _{2}).$

(69)

‎Для определения постоянных $p_{2},\ p_{3},\ \ldots ,\ p_{11},\ q_{6},\ q_{8},\ \ldots ,\ q_{12}$ мы могли бы подставить выражения коэффициентов (68) и (69) в уравнение (63) и применить общий прием, указанный выше.

Такой способ, несомненно, привел бы к цели, но потребовал бы громадных арифметических вычислений.

Можно несколько упростить эти вычисления, пользуясь следующими соображениями^[1].

В § 20 мы нашли основные подстановки икосаэдрической группы бинарных линейных подстановок. Тем же способом можно найти все подстановки этой группы.

Обозначив через $\upsilon$ бинарную подстановку:

$\upsilon ={\begin{pmatrix}0&-1\\1,&0\end{pmatrix}},$

(70)

‎соответствующую неоднородной подстановке:

$U(u)=-{\frac {1}{u}},$

‎мы можем изобразить бинарные подстановки нормальной икосаэдрической группы такими символическими формулами:

1. Этот способ предложен Фуксом в его втором мемуаре: Über linearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, welche algebraische Integrale besitzen uun eine neue Anwendung der Invariantentheorie. Crelles Journal. Bd. 85.
   ‎Он значительно проще непосредственного сравнения коэффициентов, хотя тоже требует вычислений очень утомительных. Фукс, указав на прием, однако не вычислил ни одного из коэффициентов уравнения.