Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/31

‎какъ показываетъ равенство (26), постоянно при всѣхъ значеніяхъ $z$. Оно сохранитъ свое значеніе и послѣ сдѣланнаго обхода; слѣд.

${\bar {\eta }}_{2}{\frac {d{\bar {\eta }}_{1}}{dz}}-{\bar {\eta }}_{1}{\frac {d{\bar {\eta }}_{2}}{dz}}=\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}.$

(28)

‎Подставляя въ это равенство выраженія ${\bar {\eta }}_{1},\ {\bar {\eta }}_{2}$ изъ формулъ (27), находимъ:

$(\alpha \delta -\beta \gamma )\left(\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}\right)=\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}.$

(29)

‎Такъ какъ величина

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}$

‎не есть 0, (иначе отношеніе было бы постоянно), то:

$\alpha \delta -\beta \gamma =1.$

(30)

‎Теорема доказана.

Теорема 7. Если уравненіе (20) имѣетъ алгебраическіе интегралы, то всякіе два частныхъ интеграла его взаимно выражаются раціонально^[1] и удовлетворяютъ алгебраическимъ уравненіямъ одинаковыхъ степеней.

‎Изъ уравненія (26) находимъ, что

$\eta _{1}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}+Const.\right]\eta _{2},$ $\eta _{2}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{1}^{2}}}+Const'\right]\eta _{1},$

(31)

‎Такъ какъ лѣвыя части равенствъ (31) суть функціи алгебраическія, то и правыя части ихъ будутъ функціями алгебраическими. Для опредѣленности будемъ говорить объ одной изъ формулъ (31), напр. о первой.

1. Въ коэффиціенты этихъ раціональныхъ функцій можетъ входить перемѣнное $z$ и при томъ коэффиціенты сами суть раціональныя функціи $z$. Перемѣнное $z$ разсматриваестя, какъ величина данная.

Тот же текст в современной орфографии

‎как показывает равенство (26), постоянно при всех значениях $z$. Оно сохранит свое значение и после сделанного обхода; след.

${\bar {\eta }}_{2}{\frac {d{\bar {\eta }}_{1}}{dz}}-{\bar {\eta }}_{1}{\frac {d{\bar {\eta }}_{2}}{dz}}=\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}.$

(28)

‎Подставляя в это равенство выражения ${\bar {\eta }}_{1},\ {\bar {\eta }}_{2}$ из формул (27), находим:

$(\alpha \delta -\beta \gamma )\left(\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}\right)=\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}.$

(29)

‎Так как величина

$\eta _{2}{\frac {d\eta _{1}}{dz}}-\eta _{1}{\frac {d\eta _{2}}{dz}}$

‎не есть 0 (иначе отношение было бы постоянно), то:

$\alpha \delta -\beta \gamma =1.$

(30)

‎Теорема доказана.

Теорема 7. Если уравнение (20) имеет алгебраические интегралы, то всякие два частных интеграла его взаимно выражаются рационально^[1] и удовлетворяют алгебраическим уравнениям одинаковых степеней.

‎Из уравнения (26) находим, что

$\eta _{1}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{2}^{2}}}+\mathrm {const} \right]\eta _{2},$ $\eta _{2}=\left[C\int {\frac {dz}{\eta _{1}^{2}}}+\mathrm {const} '\right]\eta _{1},$

(31)

‎Так как левые части равенств (31) суть функции алгебраические, то и правые части их будут функциями алгебраическими. Для определенности будем говорить об одной из формул (31), напр. о первой.

1. В коэффициенты этих рациональных функций может входить переменная $z$, и притом коэффициенты сами суть рациональные функции $z$. Переменная $z$ рассматриваестя как величина данная.