Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/43

наковаго измѣренія. Обозначимъ измѣреніе коэффиціентовъ коваріанта $c(\eta ',\ \eta '')$ буквою $r$. Принимая во вниманіе формулы (61), получимъ:

$c_{0}=j^{rk}C_{0},\ c_{1}=j^{rk}C_{1},\ \ldots ,\ c_{\sigma }=j^{rk}C_{\sigma }.$

(65)

‎Вслѣдствіе этого равенство (64) преобразуется такъ:

$c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=j^{rk}c(\eta ',\ \eta ''),$

(66)

‎откуда:

$[c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')]^{\mu }=[c(\eta ',\ \eta '')]^{\mu },$

(67)

‎т.-е. степень $\mu$ коваріанта $c(\eta ',\ \eta '')$ послѣ совершеннаго обхода не измѣнила своей величины. То же самое, понятно, справедливо и для остальныхъ обходовъ. Слѣдовательно степень $\mu$ коваріанта $c(\eta ',\ \eta '')$ есть раціональная функція $z$, а самъ коваріантъ есть радикалъ изъ раціональной функціи $z$.

Изъ теоремъ 12 и 13 слѣдуетъ, что всякій коваріантъ первичной формы можно представить въ видѣ произведенія нѣсколькихъ первичныхъ формъ.

Каждому частному интегралу дифференціальнаго уравненія (21) соотвѣтствуетъ свое алгебраическое уравненіе, которому онъ удовлетворяетъ; найдя приведенную систему корней этого уравненія, мы будемъ въ состояніи найти и соотвѣтствующую ему первичную форму. Степени алгебраическихъ уравненій на основаніи теоремы 7 одинаковы и равны $n$, степени же первичныхъ формъ могутъ быть различны. Изъ всѣхъ первичныхъ формъ даннаго дифференціальнаго уравненія (21) особую важность имѣетъ та, степень которой наименьшая.

Условимся во всемъ дальнѣйшемъ обозначать эту первичную форму черезъ $f(\eta ',\ \eta '')$, степень ея буквою $\nu$, а индексъ буквою $\mu$. Между числами $n,\ \mu ,\ \nu$ существуетъ зависимость:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Теорема 14. Индексъ $\mu$ первичной формы наинисшей степени $f(\eta ',\ \eta '')$ не можетъ равняться 1.

Если индексъ первичной формы равенъ 1, то въ числѣ корней алгебраическаго уравненія, соотвѣтствующаго этой

Тот же текст в современной орфографии

накового измерения. Обозначим измерение коэффициентов коварианта $c(\eta ',\ \eta '')$ буквою $r$. Принимая во внимание формулы (61), получим:

$c_{0}=j^{rk}C_{0},\ c_{1}=j^{rk}C_{1},\ \ldots ,\ c_{\sigma }=j^{rk}C_{\sigma }.$

(65)

‎Вследствие этого равенство (64) преобразуется так:

$c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')=j^{rk}c(\eta ',\ \eta ''),$

(66)

‎откуда:

$[c({\bar {\eta }}',\ {\bar {\eta }}'')]^{\mu }=[c(\eta ',\ \eta '')]^{\mu },$

(67)

‎т. е. степень $\mu$ коварианта $c(\eta ',\ \eta '')$ после совершенного обхода не изменила своей величины. То же самое, понятно, справедливо и для остальных обходов. Следовательно степень $\mu$ коварианта $c(\eta ',\ \eta '')$ есть рациональная функция $z$, а сам ковариант есть радикал из рациональной функции $z$.

Из теорем 12 и 13 следует, что всякий ковариант первичной формы можно представить в виде произведения нескольких первичных форм.

Каждому частному интегралу дифференциального уравнения (21) соответствует свое алгебраическое уравнение, которому он удовлетворяет; найдя приведенную систему корней этого уравнения, мы будем в состоянии найти и соответствующую ему первичную форму. Степени алгебраических уравнений на основании теоремы 7 одинаковы и равны $n$, степени же первичных форм могут быть различны. Из всех первичных форм данного дифференциального уравнения (21) особую важность имеет та, степень которой наименьшая.

Условимся во всем дальнейшем обозначать эту первичную форму через $f(\eta ',\ \eta '')$, степень ее буквой $\nu$, а индекс буквой $\mu$. Между числами $n,\ \mu ,\ \nu$ существует зависимость:

$\mu \nu =n.$

(39)

‎Теорема 14. Индекс $\mu$ первичной формы наинисшей степени $f(\eta ',\ \eta '')$ не может равняться 1.

Если индекс первичной формы равен 1, то в числе корней алгебраического уравнения, соответствующего этой