Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/54

Мы видимъ, что каждому значенію $u$ соотвѣтствуетъ или одно значеніе $\eta '$, или два значенія, разнящихся между собою знаками.

Отсюда слѣдуетъ, что $\eta '$ можетъ быть представлена въ видѣ квадратнаго радикала изъ раціональной функціи $u$^[1].

Итакъ, мы нашли, что $u$ есть раціональная функція $\eta '$, а $\eta '$ есть квадратный радикалъ изъ раціональной функціи $u$.

Отсюда слѣдуетъ, что степень $N$ уравненія (83) или равна^[2], или вдвое меньше степени $n$ уравненія (20):

$N=n$ или $N={\frac {n}{2}}$.

‎Теорема доказана.

Обратимъ вниманіе на слѣдующую особенность уравненія (20): если степень уравненія (83) равна ${\frac {n}{2}}$, то неизвѣстное $\eta$ входитъ въ уравненіе (20) только въ четныхъ степеняхъ.

Въ самомъ дѣлѣ, въ случаѣ $N={\frac {n}{2}}$ значенія функціи $\eta '$ попарно разнятся знаками, какъ мы только что видѣли.

Теорема 20. Отношеніе частныхъ интеграловъ уравненія (21) удовлетворяетъ алгебраическому уравненію:

${\frac {H^{\mu _{1}}(u)}{f^{\mu }(u)}}={\mathfrak {R}}(z),$

(93)

‎гдѣ ${\mathfrak {R}}(z)$ есть раціональная функція $z$, а черезъ $H(u)$ и $f(u)$ обозначены многочлены

$H(u,\ 1),\ f(u,\ 1).$

‎Пусть намъ удалось найти для уравненія (20) первичную форму наинисшей степени:

1. Подкоренная функція можетъ содержать перемѣнное $z$, въ такомъ случаѣ коэффиціенты ея будутъ раціональными функціями $z$. Выраженіе этой функціи приведено ниже.
2. Если корень извлекается точно.

Тот же текст в современной орфографии

Мы видим, что каждому значению $u$ соответствует или одно значение $\eta '$, или два значения, разнящихся между собой знаками.

Отсюда следует, что $\eta '$ может быть представлена в виде квадратного радикала из рациональной функции $u$^[1].

Итак, мы нашли, что $u$ есть рациональная функция $\eta '$, а $\eta '$ есть квадратный радикал из рациональной функции $u$.

Отсюда следует, что степень $N$ уравнения (83) или равна^[2], или вдвое меньше степени $n$ уравнения (20):

$N=n$ или $N={\frac {n}{2}}$.

‎Теорема доказана.

Обратим внимание на следующую особенность уравнения (20): если степень уравнения (83) равна ${\frac {n}{2}}$, то неизвестная $\eta$ входит в уравнение (20) только в четных степенях.

В самом деле, в случае $N={\frac {n}{2}}$ значения функции $\eta '$ попарно разнятся знаками, как мы только что видели.

Теорема 20. Отношение частных интегралов уравнения (21) удовлетворяет алгебраическому уравнению:

${\frac {H^{\mu _{1}}(u)}{f^{\mu }(u)}}={\mathfrak {R}}(z),$

(93)

‎где ${\mathfrak {R}}(z)$ есть рациональная функция $z$, а через $H(u)$ и $f(u)$ обозначены многочлены

$H(u,\ 1),\ f(u,\ 1).$

‎Пусть нам удалось найти для уравнения (20) первичную форму наинисшей степени:

1. Подкоренная функция может содержать переменную $z$, в таком случае коэффициенты ее будут рациональными функциями $z$. Выражение этой функции приведено ниже.
2. Если корень извлекается точно.