Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/6

Въ рѣшеніи Эрмита внутренняя функція $f$ есть величина

$\omega ={\frac {iK'}{K}},$

‎разсматриваемая, какъ функція величины $u={\sqrt[{4}]{k}}$, гдѣ $k$—модуль эллиптическихъ интеграловъ. Величина $\omega$ есть многозначная функція, значенія которой связаны между собою линейно. Она представляется въ видѣ отношенія двухъ частныхъ интеграловъ того гипергеометрическаго уравненія, которому удовлетворяютъ полные эллиптическіе интегралы $K$ и $K'$. Наружная функція ${\mathit {\Phi }}$ въ формулѣ Эрмита довольно сложная; она опредѣляется такъ:

${\mathit {\Phi }}(\omega )=\left[\varphi (5\omega )+\varphi \left({\frac {\omega }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\omega +16}{5}}\right)-\right.$ $\left.-\varphi \left({\frac {\omega +4.16}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\omega +2.16}{5}}\right)-\,\varphi \left({\frac {\omega +3.16}{5}}\right)\right],$

‎гдѣ $\varphi (\omega )$ выражаетъ $u$, какъ функцію $\omega$:

$u=\varphi (\omega ).$

‎Функція ${\mathit {\Phi }}$ не мѣняется отъ цѣлаго ряда линейныхъ подстановокъ, связывающихъ между собою значенія многозначной функціи $\omega$.

Въ результатѣ двухъ трансцендентныхъ операцій мы получаемъ пятизначную функцію

${\mathit {\Phi }}(\omega )$

‎величины $u$.

Функціи однозначныя, не мѣняющіяся отъ нѣкоторыхъ линейныхъ подстановокъ, впослѣдствіи были названы Клейномъ аутоморфными функціями. Поэтому Эрмитово рѣшеніе уравненія 5-ой степени можно назвать рѣшеніемъ въ аутоморфныхъ и гипергеометрическихъ функціяхъ.

Тот же текст в современной орфографии

В решении Эрмита внутренняя функция $f$ есть величина

$\omega ={\frac {iK'}{K}},$

‎рассматриваемая, как функция величины $u={\sqrt[{4}]{k}}$, где $k$ — модуль эллиптических интегралов. Величина $\omega$ есть многозначная функция, значения которой связаны между собой линейно. Она представляется в виде отношения двух частных интегралов того гипергеометрического уравнения, которому удовлетворяют полные эллиптические интегралы $K$ и $K'$. Наружная функция ${\mathit {\Phi }}$ в формуле Эрмита довольно сложная; она определяется так:

${\mathit {\Phi }}(\omega )=\left[\varphi (5\omega )+\varphi \left({\frac {\omega }{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\omega +16}{5}}\right)-\right.$ $\left.-\,\varphi \left({\frac {\omega +4\cdot 16}{5}}\right)\right]\left[\varphi \left({\frac {\omega +2\cdot 16}{5}}\right)-\varphi \left({\frac {\omega +3\cdot 16}{5}}\right)\right],$

‎где $\varphi (\omega )$ выражает $u$, как функцию $\omega$:

$u=\varphi (\omega ).$

‎Функция ${\mathit {\Phi }}$ не меняется от целого ряда линейных подстановок, связывающих между собой значения многозначной функции $\omega$.

В результате двух трансцендентных операций мы получаем пятизначную функцию

${\mathit {\Phi }}(\omega )$

‎величины $u$.

Функции однозначные, не меняющиеся от некоторых линейных подстановок, впоследствии были названы Клейном автоморфными функциями. Поэтому Эрмитово решение уравнения 5-ой степени можно назвать решением в автоморфных и гипергеометрических функциях.