Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/68

Пусть ${\bar {u}}$ и $u$ суть два корня уравненія (2). Каждый изъ нихъ есть отношеніе двухъ линейно независимыхъ частныхъ интеграловъ уравненія (1):

$u={\frac {y'}{y''}},\ {\bar {u}}={\frac {{\bar {y}}'}{{\bar {y}}''}}.$

(6)

‎Частные интегралы ${\bar {y}}',\ {\bar {y}}''$ могутъ быть выражены линейно черезъ $y'$ и $y''$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {y}}'=\alpha y'+\beta y',\\{\bar {y}}''=\gamma y'+\delta y''.\end{matrix}}\right\}$

(7)

‎Отсюда:

${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(8)

‎Мы видимъ, что всѣ корни уравненія (2) связаны между собою линейно. Остается доказать, что эти линейныя подстановки образуютъ группу.

‎Представимъ для краткости уравненіе (2) въ такомъ видѣ:

Тот же текст в современной орфографии

Пусть ${\bar {u}}$ и $u$ суть два корня уравнения (2). Каждый из них есть отношение двух линейно независимых частных интегралов уравнения (1):

$u={\frac {y'}{y''}},\ {\bar {u}}={\frac {{\bar {y}}'}{{\bar {y}}''}}.$

(6)

‎Частные интегралы ${\bar {y}}',\ {\bar {y}}''$ могут быть выражены линейно через $y'$ и $y''$:

$\left.{\begin{matrix}{\bar {y}}'=\alpha y'+\beta y',\\{\bar {y}}''=\gamma y'+\delta y''.\end{matrix}}\right\}$

(7)

‎Отсюда:

${\bar {u}}={\frac {\alpha u+\beta }{\gamma u+\delta }}.$

(8)

‎Мы видим, что все корни уравнения (2) связаны между собой линейно. Остается доказать, что эти линейные подстановки образуют группу.

‎Представим для краткости уравнение (2) в таком виде: