Страница:Лахтинъ Л. К. Алгебраическiя уравненiя, разрѣшимыя въ гипергеометрическихъ функцiяхъ.pdf/76

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=ct$

(29)

‎имѣютъ три крититическія точки. При надлежащемъ выборѣ постояннаго $c$ эти критическія точки суть: 0, 1, $\infty$.

Для сокращенія формулъ положимъ:

$H^{\lambda _{1}}(u)=\varphi (u),\ f^{\lambda }(u)=\psi (u).$

(31)

‎Тогда уравненіе (29) приметъ видъ:

${\frac {\varphi (u)}{\psi (u)}}=ct,$

(32)

‎или:

$\varphi (u)-ct\psi (u)=0.$

(33)

‎Найдемъ, какія значенія $u$ могутъ служить кратными корнями уравненія (33) при соотвѣтствующихъ значеніяхъ $t$. Для этого приравняемъ нулю производную по $u$ отъ лѣвой части уравненія (33):

${\frac {d\varphi (u)}{du}}-ct{\frac {d\psi (u)}{du}}=0.$

(34)

‎Исключивъ $t$ изъ уравненій (33) и (34), находимъ:

$\varphi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}-\psi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}=0.$

(35)

‎Корнями уравненія (35) служатъ всѣ тѣ количества, которыя при соотвѣтствующихъ значеніяхъ $t$, найденныхъ изъ уравненія (33), служатъ кратными корнями уравненія (33).

При этомъ всякое количество $u$, служащее $m$-кратнымъ корнемъ уравненія (33), служитъ $m-1$-кратнымъ корнемъ уравненія (35) и обратно: всякій $m-1$-кратный корень уравненія (35) есть $m$-кратный корень уравненія (33) при соотвѣтствующемъ ему значеніи $t$.

Степень уравненія (35) равна $2N-2$.

Группа уравненія (33) та же, какъ и группа уравненія (2).

Подстановки ея были нами обозначены такъ:

Тот же текст в современной орфографии

${\frac {H^{\lambda _{1}}(u)}{f^{\lambda }(u)}}=ct$

(29)

‎имеют три крититические точки. При надлежащем выборе постоянной $c$ эти критические точки суть: 0, 1, $\infty$.

Для сокращения формул положим:

$H^{\lambda _{1}}(u)=\varphi (u),\ f^{\lambda }(u)=\psi (u).$

(31)

‎Тогда уравнение (29) примет вид:

${\frac {\varphi (u)}{\psi (u)}}=ct,$

(32)

‎или:

$\varphi (u)-ct\psi (u)=0.$

(33)

‎Найдем, какие значения $u$ могут служить кратными корнями уравнения (33) при соответствующих значениях $t$. Для этого приравняем нулю производную по $u$ от левой части уравнения (33):

${\frac {d\varphi (u)}{du}}-ct{\frac {d\psi (u)}{du}}=0.$

(34)

‎Исключив $t$ из уравнений (33) и (34), находим:

$\varphi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}-\psi (u){\frac {d\psi (u)}{du}}=0.$

(35)

‎Корнями уравнения (35) служат все те количества, которые при соответствующих значениях $t$, найденных из уравнения (33), служат кратными корнями уравнения (33).

При этом всякое количество $u$, служащее $m$-кратным корнем уравнения (33), служит $m-1$-кратным корнем уравнения (35), и обратно: всякий $m-1$-кратный корень уравнения (35) есть $m$-кратный корень уравнения (33) при соответствующем ему значении $t$.

Степень уравнения (35) равна $2N-2$.

Группа уравнения (33) та же, как и группа уравнения (2).

Подстановки ее были нами обозначены так: