А. Ѳ. Бычковъ былъ однимъ изъ членовъ-основателей Русскаго (впослѣдствіи Императорскаго) Историческаго Общества, учрежденнаго въ 1866 году, былъ избираемъ въ члены Совѣта Общества, а съ 1882 года состоялъ и Помощникомъ его Предсѣдателя. Уже въ I томѣ „Сборника“ этого Общества (1867 г.) подъ его наблюденіемъ и съ его примѣчаніями были напечатаны рескрипты и письма Императрицы Екатерины II на имя графа А. Г. Орлова. Весь ХІ-й томъ „Сборника“ (1873 г.), заключающій въ себѣ бумаги Петра Великаго, былъ напечатанъ подъ его редакціей; бо́льшую часть тома составляютъ указы Петра Великаго, извлеченные Б. изъ Архива Правительствующаго Сената. Въ т. XXI (1877 г.) онъ напечаталъ Отчетъ въ дѣлахъ 1810-го года, представленный М. М. Сперанскимъ Императору Александру І-му 11 февраля 1811 г. Въ этомъ же томѣ онъ предполагалъ помѣстить и „Введеніе въ Уложеніе государственныхъ законовъ“ Сперанскаго 1809 года; текстъ былъ весь набранъ и сверстанъ, въ небольшомъ числѣ экземпляровъ, но затѣмъ было признано несвоевременнымъ дать мѣсто этому труду Сперанскаго въ „Сборникѣ“. Въ томѣ XXX (1880 г.), посвященномъ „годамъ ученія Цесаревича Александра Николаевича“, Б. напечаталъ другой обширный трудъ Сперанскаго „О законахъ. Бесѣды съ Наслѣдникомъ Цесаревичемъ Александромъ Николаевичемъ съ 12 октября 1835 по 10 апрѣля 1837“ и нѣсколько другихъ матеріаловъ меньшаго объема. Наконецъ, часть тома XXXIV (1881 г.), содержащаго въ себѣ донесенія Французскихъ посланниковъ при Русскомъ Дворѣ и отчасти отчеты о пребываніи Русскихъ посланниковъ во Франціи, съ 1681 по 1718 г., была также издана подъ редакціею Б. Въ годовыхъ общихъ собраніяхъ Общества онъ нерѣдко дѣлалъ сообщения, оставшіяся ненапечатанными, а въ чрезвычайномъ собраніи 25 ноября 1873 г. произнесъ рѣчь о трудахъ по Русской исторіи въ царствованіе Императрицы Екатерины II (напечатана въ „Правительственномъ Вѣстникѣ“ 1873 г. и въ т. XIII „Сборника“ Общества).
Помимо ученыхъ вопросовъ, Б. всегда живо интересовался и общественными дѣлами.
Во второй половинѣ семидесятыхъ годовъ онъ былъ дѣятельнымъ членомъ С.-Петербургскаго Славянскаго Благотворительнаго Комитета и принималъ близкое участіе въ изданіи двухъ томовъ „Славянскаго Сборника“ (въ 1875 и 1877 гг.) и сборника „Братская помощь пострадавшимъ семействамъ Босніи и Герцеговины“ (1876 г.).
Когда въ 1884 году возникло въ Петербургѣ Братство во имя Пресвятой Богородицы, имѣвшее своею задачею устройство церковно-приходскихъ школъ въ С.-Петербургской епархіи, Б., будучи убѣжденнымъ сторонникомъ народнаго образованія на религіозныхъ началахъ, въ духѣ Православной Церкви, вошелъ въ составъ Братства и до смерти оставался Товарищемъ его Предсѣдателя. Обремененный другими занятіями, онъ тѣмъ не менѣе находилъ возможнымъ посѣщать засѣданія Совѣта Братства и не тяготился обсужденіемъ дѣлъ, подлежавшихъ его вѣдѣнію. Во вниманіе къ трудамъ его по званію Това-
