Страница:Статьи о преобразованиях Кремоны (Млодзеевский).pdf/12

на плоскости $P$. Согласно сказанному выше, мы будем иметь и на второй плоскости $Q$ такое же число групп основных точек, при чем первой группе плоскости $P$ будет соответствовать на плоскости $Q$ группа также из $p_{1}$ центров определенной кратности $s_{1}$, второй — группа из $p_{2}$ центров кратности $s_{2}$ и т. д. Каждой паре основных точек $A_{k},B_{l}$ обеих плоскостей, из которых $A_{k}$ принадлежит к $k$-той группе первой плоскости, а $B_{l}$ — к $l$-той группе второй плоскости, будет соответствовать по-прежнему определенное число $\alpha _{kl}$; при этом, если указатели $k$ и $l$ различны, то для всех основных точек с кратностями $r_{k}$ и $s_{l}$ число $\alpha _{kl}$ будет одно и то же; если же указатели $k$ и $l$ равны между собою и, следовательно, точки $A_{k}$ и $B_{l}$ принадлежат двум группам соответствующим одна другой в указанном выше смысле, то каждой из основных точек $k$-той группы первой плоскости будет соответствовать в $k$-той группе второй плоскости одна основная точка, для которой число $\alpha _{kk}$ заменится через $\alpha _{kk}+\varepsilon _{k}$, где $\varepsilon _{k}=\pm 1$.

Располагая в детерминанте Clebsch'a (7) ряды так, чтобы элементы, соответствующие членам одной и той же группы, стояли рядом, мы дадим ему в новых обозначениях следующий вид:

$N={\begin{vmatrix}\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&\alpha _{11}&\cdots &\alpha _{12}&\alpha _{12}&\cdots \\\alpha _{11}&\alpha _{11}+\varepsilon _{1}&\cdots &\alpha _{12}&\alpha _{12}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\alpha _{21}&\alpha _{21}&\cdots &\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&\alpha _{22}&\cdots \\\alpha _{21}&\alpha _{21}&\cdots &\alpha _{22}&\alpha _{22}+\varepsilon _{2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\ddots \\\end{vmatrix}}$

(10.)

Этот детерминант $p$-го порядка состоит из групп строк и столбцов по $p_{1},p_{2},\dots p_{q}$ рядов в каждой группе. Таким образом все элементы распадаются на $q^{2}$ прямоугольников, среди которых могут быть и квадраты. В каждом прямоугольнике все элементы $\alpha _{kl}$ равны между собою; исключение представляют квадраты, расположенные по главной диагонали детерминанта, в них диагональные элементы различаются от остальных на единицу.

Поясним сказанное на приведенном выше детерминанте 11-го порядка.

В нем мы имеем 9 основных точек, распадающихся на четыре группы. Таким образом в нашем случае

$n=11,\,p=9,q=4.$

Далее, имеем число центров в каждой группе и их кратности

$p_{1}=1,$	$p_{2}=2,$	$p_{3}=3,$	$p_{4}=3,$
$r_{1}=7,$	$r_{2}=4,$	$r_{3}=3,$	$r_{4}=2,$
$s_{1}=4,$	$s_{2}=1,$	$s_{3}=5,$	$s_{4}=3.$

По способу, который будет изложен в следующей статье, мы находим

$\alpha _{11}=2,$	$\alpha _{12}=1,$	$\alpha _{13}=3,$	$\alpha _{14}=2,$
$\alpha _{21}=1,$	$\alpha _{22}=0,$	$\alpha _{23}=2,$	$\alpha _{24}=1,$
$\alpha _{31}=1,$	$\alpha _{32}=0,$	$\alpha _{33}=1,$	$\alpha _{34}=1,$
$\alpha _{41}=1,$	$\alpha _{42}=0,$	$\alpha _{43}=1,$	$\alpha _{44}=0,$
$\varepsilon _{1}=+1,$	$\varepsilon _{2}=+1,$	$\varepsilon _{3}=+1,$	$\varepsilon _{4}=+1.$

Так как первая группа содержит только один центр, то мы могли бы положить не $\alpha _{11}=2,\,\varepsilon _{1}=+1$, а $\alpha _{11}=4,\,\varepsilon _{1}=-1$. Точно так же во вторую группу входят