Таким образом мы преобразовали детерминант Clebsch'a порядка в детерминант низшего порядка . Отсюда, между прочим, получается соотношение
Для разобранного выше примера это равенство принимает вид
7. В Кремоновых преобразованиях иногда бывает удобно присоединять к основным точкам сети другие дополнительные основные точки, взятые в той или другой точке плоскости. Так как кривые сети имеют кратные точки только в основных точках сети и сходятся все только в них, то эти новые основные точки мы должны рассматривать как точки нулевой кратности. Посмотрим, какие характеристические числа мы должны приписать каждому такому центру нулевой кратности. Пусть между плоскостями , установлено Кремоново преобразование, характеристические числа которых удовлетворяют соотношениям (1)—(6). Прибавим теперь на первой плоскости еще новых центров , указатели которых изменяются от до . Так как на обеих плоскостях должно быть одинаковое число центров, то и на плоскости должно взять новых центров (). Будем обозначать по прежнему через () кратности новых основных точек и через их характеристические числа. Тогда формулы (1), (2) примут следующий вид
|
(1'.)
|
|
(2'.)
|
Вычитая (1) из (1'), имеем
|
(3'.)
|
Отсюда видно, что все указатели , , соответствующие новым основным точкам, равны нулю, т.-е. что это основные точки нулевой кратности, как это мы видели выше.
Так как каждой основной точке Кремоновой сети в одной плоскости соответствует в другой плоскости основная линия, порядок которой равен кратности соответствующей ей основной точки, то, вводя в каждой сети основных точек нулевой кратности, мы вместе с тем должны ввести столько же основных линий нулевого порядка. Посмотрим, какие значения должны мы приписать характеристическим числам для этих линий. Давая в первой формуле (4) указателю значение, не превосходящее , и распространяя суммирование на все значения от 1 до , мы получим
- .
|
(4'.)
|