же отъ этихъ соединительныхъ членовъ образовались въ прежнихъ разстояніяхъ промежутки, равнявшіяся 1 1/2 (или ’/> долямъ предъидущаго члена), 1’/" (или */· долямъ) и 1'/· (или /в долямъ), то Онъ наполнилъ всѣ промежутки полуторные посредствомъ промежутка въ I/·, оставивъ отъ Некорректный вызов шаблона→каж-
Впрочемъ, уже древніе комментаторы Платона- какъ-то Плутархъ, Ни комахъ, Ѳеонъ смирнскія, Ямблихъ, Халцидій, Проклъ- всѣ находили въ этомъ мѣстѣ трактацію не объ однихъ только математическихъ, но вмѣстѣ и о гармоническихъ отношеніяхъ, и потому при объясненіи его болѣе или менѣе принимали въ разсчетъ греческую теорію мувыки. Что касается въ особенности среднихъ членовъ, о которыхъ здѣсь идетъ рѣчь, то уже Плутархъ замѣтилъ, что первый изъ требуемыхъ среднепропорціональныхъ членовъ, который бы такимъ же числомъ превышалъ одинъ изъ крайнихъ членовъ, какимъ другой крайній членъ превышалъ бы его самаго, есть ариѳметическій (μεσάτης αριθμητική), а что второй требуемый членъ, который бы на такую же долю превышалъ одинъ изъ крайнихъ членовъ, на какую его самаго превышалъ бы другой крайній, есть среднепропорціональный гармоническій (μεσάτης ύπεναντία ή άρμονικ/). Слѣдовательно, въ вышеприведенномъ примѣрѣ 6: 8=9: 12--среднепропорціональный ариѳметическій членъ есть 9, а 8 есть среднепропорціональный гармоническій. Итакъ, знаніе гармоническ=й пропорціи, умѣнье найти среднепропорціональные гармоническіе члены есть необходимое условіе даже для одного буквальнаго пониманія этого мѣста. Опираясь на изслѣдованія древнѣйшихъ комментаторовъ, Бэккъ (liber die Biidung der Weltseele...) даетъ въ качествѣ ключа для открытія этого замысловатаго ларчика слѣдующія положенія. Именно, если обозначить меньшій изъ крайнихъ членовъ буквою т, большій буквою М, средне-пропорціональный буквою Н, разность между меньшимъ крайнимъ и среднимъ буквою d, а разность между среднимъ и большимъ крайнимъ буквою D, слѣдовательно разность обоихъ крайнихъ буквами d+D, то выйдетъ: 1) m: d=M: D. 2) mD=Md. 3) m4-M=d4“D — m: dzzM: D 4) (m-j-Mj d^(d4-D) m, hjh (ra+M) D~ (d-|-B) M. 5) (m+M) fl=2 m M. 6) (1 -• (d<=sup>+P) D<su=>= (d+=) M 8) H=m+(± m+M h=m-(£+2Lm m+M.
же от этих соединительных членов образовались в прежних расстояниях промежутки, равнявшиеся 1 1/2 (или ’/> долям предыдущего члена), 1’/" (или */· долям) и 1'/· (или /в долям), то Он наполнил все промежутки полуторные посредством промежутка в I/·, оставив от Некорректный вызов шаблона→каж-
Впрочем, уже древние комментаторы Платона- как-то Плутарх, Ни комах, Феон смирнские, Ямблих, Халцидий, Прокл- все находили в этом месте трактацию не об одних только математических, но вместе и о гармонических отношениях, и потому при объяснении его более или менее принимали в расчёт греческую теорию мувыки. Что касается в особенности средних членов, о которых здесь идет речь, то уже Плутарх заметил, что первый из требуемых среднепропорциональных членов, который бы таким же числом превышал один из крайних членов, каким другой крайний член превышал бы его самого, есть арифметический (μεσάτης αριθμητική), а что второй требуемый член, который бы на такую же долю превышал один из крайних членов, на какую его самого превышал бы другой крайний, есть среднепропорциональный гармонический (μεσάτης ύπεναντία ή άρμονικ/). Следовательно, в вышеприведенном примере 6: 8=9: 12--среднепропорциональный арифметический член есть 9, а 8 есть среднепропорциональный гармонический. Итак, знание гармоническ=й пропорции, уменье найти среднепропорциональные гармонические члены есть необходимое условие даже для одного буквального понимания этого места. Опираясь на исследования древнейших комментаторов, Бэкк (liber die Biidung der Weltseele...) дает в качестве ключа для открытия этого замысловатого ларчика следующие положения. Именно, если обозначить меньший из крайних членов буквою т, больший буквою М, средне-пропорциональный буквою Н, разность между меньшим крайним и средним буквою d, а разность между средним и большим крайним буквою D, следовательно разность обоих крайних буквами d+D, то выйдет: 1) m: d=M: D. 2) mD=Md. 3) m4-M=d4“D — m: dzzM: D 4) (m-j-Mj d^(d4-D) m, hjh (ra+M) D~ (d-|-B) M. 5) (m+M) fl=2 m M. 6) (1 -• (d<=sup>+P) D<su=>= (d+=) M 8) H=m+(± m+M h=m-(£+2Lm m+M.
