Страница:Шопенгауэр. Полное собрание сочинений. Т. I (1910).pdf/134

— 122 —

свести справедливость ее к такому простому воззрению. К тому же всякий a priori сознает необходимость такого основания бытия для каждого пространственного отношения, как и необходимость причины для каждого изменения. Конечно, такое основание в слож­ных теоремах очень трудно указать, и здесь не место для труд­ных геометрических изысканий. Поэтому, только для того, чтобы еще более уяснить свою мысль, я сведу сейчас к основанию бы­тия такую не очень сложную теорему, в которой оно во всяком случае не сразу бросается в глаза.

Я пропускаю десять теорем и останавливаюсь на шестнадцатой. «В каждом треугольнике, у которого одна сторона продолжена — внешний угол больше, чем каждый из двух внутренних, ему противолежащих». Доказательство Эвклида таково (см. фиг. 4):

Возьмем треугольник ${\mbox{a b g}}$: продолжим сторону ${\mbox{b g}}$ к ${\mbox{d}}$, и я утверждаю, что внешний угол ${\mbox{a g d}}$ больше каждого из двух внутренних, противо­лежащих ему. Фиг. 4.Разде­лим сторону ${\mbox{a g}}$ в точке ${\mbox{e}}$ пополам, про­ведем линию ${\mbox{b e}}$, про­должим ее до ${\mbox{z}}$ и сде­лаем ${\mbox{e z}}$ равной ${\mbox{e b}}$; соединим точки ${\mbox{z}}$ и ${\mbox{g}}$ и продолжим линию ${\mbox{a g}}$ до ${\mbox{h}}$. Так как ${\mbox{a e}}$ равна ${\mbox{e g}}$ и ${\mbox{b e}}$ равна ${\mbox{e z}}$, то две сто­роны ${\mbox{a e}}$ и ${\mbox{e b}}$ равны двум сторонам ${\mbox{g e}}$ и ${\mbox{e z}}$, взятым каждая в отдельности, и угол ${\mbox{a e b}}$ равен углу ${\mbox{z e g}}$, ибо это — углы вертикальные. Вместе с тем основная линия ${\mbox{a b}}$ равна основной линии ${\mbox{z g}}$, и треугольник ${\mbox{a b e}}$ равен треугольнику ${\mbox{z e g}}$, и остальные углы равны остальным углам, следо­вательно — и угол ${\mbox{b a e}}$ равен углу ${\mbox{e g z}}$. Ho угол ${\mbox{e g d}}$ боль­ше угла ${\mbox{e g z}}$; следовательно, и угол ${\mbox{a g d}}$ больше угла ${\mbox{b a e}}$. Если мы разделим и линию ${\mbox{b g}}$ пополам, то подобным же обра­зом докажем, что и угол ${\mbox{b g h}}$, т. е. его вертикальный угол ${\mbox{a g d}}$, больше угла ${\mbox{a b g}}$.

Я бы доказал эту теорему следующим образом (см. фиг. 5):

Для того чтобы угол ${\mbox{b a g}}$ только сравнялся с углом ${\mbox{a g d}}$, не говоря уже — превзошел его, линия ${\mbox{b a}}$ (ведь именно это и значит равенство углов) должна была бы упасть на ${\mbox{g a}}$ в та­ком же направлении, как и ${\mbox{b d}}$, т. е. параллельно ${\mbox{b d}}$, — другими