при такомъ сложномъ движеніи измѣняются абсциссы и ординаты , означаются знаками и , и называются fluxions (теченія) координатъ и , а сіи послѣднія въ этомъ же отношеніи называются fluents (текущія). Флюкціоны могутъ имѣть свои флюкціоны, и т. д. Они означаются знаками и и т.д., и образуютъ флюкціоны высшихъ разрядовъ. Прямая метода флюкціоновъ учитъ, посредствомъ даннаго уравненія между флюэнтами, находить взаимное отношеніе ихъ флюкціоновъ. Обратная метода, изъ даннаго отношенія между флюкціовами, возстановляетъ уравненіе между флюэнтами.
Лейбницъ, меньше Нютона, основывалъ свое исчисленіе на геометрическихъ рассужденіяхъ, или по крайней мѣрѣ изложеніе началъ его не зависѣло отъ нихъ такъ много. Онъ полагалъ, что есть величины, которыя безконечно малы въ отношеніи къ другимъ величинамъ, а потому и могутъ быть опущены безъ ощутительной погрѣшности противъ сихъ послѣднихъ величинъ. Онъ тѣмъ не ограничивается: по его системѣ есть безконечно малыя величины втораго, третьяго разрядовъ в т. д., которыя также могутъ быть опущены или совершенно исчезаютъ противъ величинъ безконечно малыхъ перваго, втораго разрядовъ и т. д. Положимъ, у кривой линіи приняты три безконечно смежные, такъ сказать, непосредственно одна за другою слѣдующія ординаты; тогда разности между каждыми двумя, одна къ другой прилежащими ординатами, будутъ безконечно малыя величины перваго разряда, а разность тѣхъ двухъ разностей будетъ безконечно малою величиною втораго разряда. Оттого и выраженія: дифференціалъ, а именно первый дифференціалъ, второй, третій, и т. д., дифференціальное исчисленіе, исчисленіе безконечно малыхъ величинъ, Анализъ безконечнаго, Calcul infinitesimal. Разность же, напр. между одною ординатою и непосредственно за нею слѣдующею другою ординатою, или дифференціалъ ординаты , означается знакомъ , дифференціалъ сего знакомъ или , и т.д. Намъ сначала кажутся странными эти положенія о безконечно-маломъ, но вся странность скрывается въ однихъ только выраженіяхъ. Можно доказать, что, излагая такимъ образомъ, мы избѣгаемъ многословія, и не доходимъ до заблужденій. Лейбницъ, опуская нѣкоторыя величины, не вводитъ тѣмъ ничего новаго, но дѣлаетъ въ этомъ отношеніи то же самое, что и до него дѣлали геометры и аналитики. Ибо каждую величину, которая, при извѣстныхъ обстоятельствахъ, дѣлалась меньше каждой данной величины, какъ-бы мала она ни была, сами Древніе, при тѣхъ же обстоятельствахъ, считали исчезающею. Дифференціальное исчисленіе, сходственное съ прямою методою флюкціоновъ, изъ даннаго уравненія между двумя перемѣнными величинами, каковы суть напр. координаты кривой линіи, учитъ находитъ отношеніе между ихъ дифференціалами. Интегральное же исчисленіе, соотвѣтствующее обратной методѣ флюкціоновъ, изъ отношенія между дифференціалами возстановляетъ уравненіе между первоначальными перемѣнными величинами. Потому исчисленіе флюкціоновъ и Анализисъ безконечнаго, подъ которымъ разумѣется дифференціальное и интегральное исчисленія, отличны другъ отъ друга однимъ только изложеніемъ, знаками и названіями. На материкѣ Европы всѣ вообще слѣдовали изложенію Лейбница, и удержали притомъ его знаки и выраженія. Въ новѣйшее время и Англичане мало по малу начинаютъ пользоваться тѣми же знаками и выраженіями. При всемъ томъ во Франціи и Германіи нѣсколько разъ пытались дать дифференціальному исчисленію другое основаніе и развитіе, считая первое слишкомъ неопредѣленнымъ и зыбкимъ, а оттого не имѣющимъ истинно математической вѣрности. Уже при методѣ флюкціоновъ принуждены были, для опредѣленія измѣняющейся скорости, движущейся на ординатѣ точки, прибѣгать или къ методѣ истощенія Древнихъ, или, какъ дѣлалъ большею частію самъ Нютонъ, къ способу первыхъ и послѣднихъ отношеній, т. е. тѣхъ, которыя должны быть между двумя въ одно время образующимися или въ одно время исчезающими перемѣнными величинами въ самое мгновеніе образованія или исчезанія ихъ. Все это не что иное, какъ метода предѣловъ. Притомъ, для нахожденія касательныхъ, слѣдовали исчисленію Баррова, которое Нютонъ только больше распространилъ. Для избѣжанія Лейбницова разряднаго положенія безконечно-малыхъ величинъ старался д'Аламбертъ, на той же ме-
