§ 4. Созидание иррациональных чисел
Последними словами уже достаточно ясно указывается, каким образом разрывная область рациональных чисел должна быть дополнена до превращения ее в непрерывную. Как это поставлено было на вид в § 1 (III), каждое рациональное число производит разложение системы на два класса и такого рода, что каждое число первого класса меньше каждого числа второго класса. Число представляет либо наибольшее число класса , либо наименьшее число класса . Если теперь дано какое-либо подразделение системы на два класса , , обладающее только тем характерным свойством, что каждое число из меньше каждого числа из , то для краткости мы будем называть такое подразделение сечением и будем его обозначать через . Мы можем тогда сказать, что каждое число производит одно или, собственно, два сечения, на которые мы, однако, не будем смотреть, как на существенно различные[1]; это сечение имеет кроме тою то свойство, что либо между числами первого класса есть наибольшее, либо между числами второго класса существует наименьшее. И наоборот, если сечение обладает и этим свойством, то оно производится этим наибольшим или наименьшим числом.
Легко, однако, убедиться в том, что существует бесчисленное множество сечений, которые не могут быть произведены рациональным числом. Ближайший пример есть следующий.
Пусть будет положительное целое число, но не квадрат целого числа. Существует положительное целое число такого рода, что