Страница:Dedekind-Nepreryvnost i irratzionalnye chisla.pdf/34

Доказательство существования трансцендентных чисел (по Cantor'у)

Предварительные замечания

§ 1. Число N называется алгебраическим, когда оно удовлетворяет уравнению вида

$A=ax^{m}+a_{1}x^{m-1}+\dots +a_{m-1}x+a_{m}=0\quad (1)$

где показатель $m$ есть положительное целое число, коэффициенты $a$, $a_{1},\dots a_{m-1},a_{m}$ суть целые числа, а коэффициент $a$ отличен от нуля.

В этом уравнении мы можем считать коэффициент а высшего члена положительным, ибо, допуская противное и меняя знаки всех членов уравнения, найдем, что число N удовлетворяет уравнению того же вида, но при этом коэф­ фициент высшего члена есть уже положительное число. Можно также предположить, что общий наибольший дели­ тель Л всех коэффициентов уравнения равен единице, ибо, предположив А отличным от единицы и разделив обе части уравнения на А, найдем, что число N удовлетворяет урав­ нению вида (1) с коэффициентами, общий наибольший де­ литель которых равен единице.

Рассматривая алгебраические уравнения, мы всюду будем предполагать (если противное не оговорено), что эти уравнения приведены к виду (1) и что коэффициенты в этих уравнениях удовлетворяют условиям, установленным нами относительно коэффициентов уравнения (1).

Степень алгебраического уравнения, которому удовле­творяет алгебраическое число К, по определению, не может