известного ребенку круга общежития; например, ежели одна булка стоит 1 копейка, что стоят 6 булок? Ежели 6 булок стоят 6 копеек, что стоит одна? Ежели за одну булку ты заплатил 2 копейки, то сколько ты должен заплатить за три булки? Ежели один золотник чаю стоит 2 копейки, сколько стоит 3 золотника и т. д. Не должно смешивать это прикладное исчисление с производством действий над «именованными числами». В элементарную арифметику входят собственно только именованные числа, ибо каждое число должно быть объявляемо посредством видимых предметов, будь то черточки или палочки, камешки или деньги; а для того, чтобы дитя приучилось к отвлечению численного представления, «наименования» должны почаще меняться. Но тут собственно нет еще никакого применения, потому что при всех задачах употребляются выражения, объясняющие действие, как-то: прибавь, отними, возьми столько раз и т. д. В применении же прямая связь между частным случаем и арифметическим действием скрыта, и ученику предоставляется отыскать эту связь. Так, например, чтобы решить задачу: «один золотник чаю стоит 2 копейки, что стоят три золотника?» — ученик должен сперва сделать следующий общий вывод: «если я какой-либо товар возьму 3 раза, то я должен заплатить зa него 3 раза и назначенную цену», а потом сознать, что на основании этого вывода задача решается посредством действия: 3 × 2 коп. = 6 коп. Коль скоро ученик дошел до того, что легко узнает арифметические отношения какого-нибудь числа (наприм. 6) в любой практической задаче, то он изучил это число всесторонне и основательно. Но чем больше число, тем сложнее и отношения его; потому-то мы и полагаем, что в элементарном курсе, где требуется строго соблюсти постепенный переход от легкого к трудному, от простого к сложному, необходимо рассматривать числа не только отдельно, но и в восходящем их порядке, начиная с единицы, и каждое число тотчас же применять к частным случаям».
«Соединив таким образом все составные части арифметического преподавания в одно связное целое и основав последовательность его на постепенном увеличении числа, Грубе создал методу, более всех других удовлетворяющую строгим требованиям новейшей дидактики; ибо преподавание по этой методе а) действует на учеников нравственно, т. е. возбуждает посильно их самодеятельность и тем внушает им любовь к учению и труду вообще; б) развивает их умственные способности; в) знакомит с сущностью науки и г) сообщает им необходимые в жизни практические знания».
«Имея в виду преимущественно народные школы, Грубе разделяет элементарную арифметику на 3 курса, конечная цель которых — основательное изучение первых действий над целыми и дробными числами, а срок — От 3 до 4 лет по 3 урока в неделю».
«Первый курс: Исчисление целыми числами от 1 до 100 — 11/2года. В первое полугодие изучаются числа от 1 до 10; а во второе и третье — от 10 до 100. В начале этого курса изустное счисление преобладает над письменным потому уже, что дети большею частью еще только что начинают писать».
«Второй курс: Исчисление целыми числами больше 100 — 1 год. В первое полугодие — изучение чисел до 1000; во второе — рассматривание чисел любой величины и упражнение в отдельных арифметических действиях. Коль скоро ученики дошли до отдельных действий, то письменные упражнения могут преобладать над изустными».
«Третий курс: Исчисление дробями — 1 год. В первое полугодие — всестороннее рассматривание дробей; во второе — упражнение в отдельных арифметических действиях».
«Из этого распределения очевидно, что в каждом курсе ученику сообщается самостоятельное целое. Еслиб ему и случилось оставить учение даже по окончании первого курса, то он все-таки познакомился уже со всею арифметикою, так скаэать, в миниатюре, и тем приобрел способность развивать ее сам далее».
