Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/115

Эта страница была вычитана

Тѣмъ не менѣе мы не можемъ отказаться отъ мысли, что, напримѣръ, дiагональ квадрата, или окружность круга имѣютъ опредѣленную длину, выражаемую опредѣленнымъ числомъ; то же имѣетъ мѣсто и для промежутковъ времени и вѣса: мы склонны принять, что измѣряемые объекты представляютъ собой какъ бы эквиваленты всей совокупности чиселъ ^[1].

3. Условiя измѣримости элементовъ нѣкотораго комплекса можно, на нашъ взглядъ, выразить въ слѣдующихъ положенiяхъ:

1. Два элемента $a$ и $b$ даннаго комплекса либо равны другъ другу, либо одинъ изъ нихъ больше, другой меньше.

2. Если $a$ есть нѣкоторый элементъ этого комплекса, то можно указать элементы, которые меньше элемента $a$ (безконечная дѣлимость).

3. Если $a$ и $b$ суть нѣкоторые элементы нашего комплекса (равные другъ другу или различные), то въ этомъ же комплексѣ существуетъ элементъ $c=a+b$ , представляющiй собою сумму обоихъ элементовъ и превосходящiй оба слагаемыя, порознь взятыя.

При суммированiи имѣетъ мѣсто перемѣстительный и сочетательный законы сложенiя (§ 7).

4. Если элементъ $b$ меньше элемента $c$ , то существуетъ опредѣленный элементъ $a=c-b$ , имѣющiй то свойство, что $a+b=c$ .

5. Повторное суммированiе нѣсколькихъ равныхъ другъ другу элементовъ $a$ приводитъ къ понятiю произведенiя $ma$ , гдѣ $m$ означаетъ число натуральнаго ряда. Относительно произведенiй имѣетъ мѣсто принципъ Архимеда:

Если $a$ и $b$ суть произвольные два элемента нашей группы, то можно указать элементъ $ma$ , кратный элемента $a$ , который превосходитъ элементъ $b$ .

Такимъ образомъ среди элементовъ измѣримой группы нѣтъ ни наибольшаго, ни наименьшаго; изъ свойствъ 2), 3) и 4) слѣдуетъ, что между двумя любыми элементами заключены еще другiе элементы. Кромѣ того, должно быть выполнено слѣдующее условiе:

6. Если $a$ обозначаетъ какой-либо элементъ группы, а $n$ есть число натуральнаго ряда, то существуетъ элементъ $b$ , удовлетворяющiй равенству $nb=a$ . Этотъ элементъ $b$ называется $n$ -ой частью элемента $a$ и

↑ Понятiе о непрерывности, столь простое и наглядное въ области отвлеченныхъ чиселъ, представляетъ почти непреодолимыя трудности въ области измѣряемыхъ величинъ, т. е. въ области объектовъ внѣшняго мiра.
Павелъ Дюбуа-Реймонъ (Paul du Bois-Reymond) разработалъ этотъ вопросъ въ своемъ трудѣ: „Allgemeine Functionentheorie“ (Tübingen 1882). Онъ пришелъ къ тому выводу, что по этому вопросу равно возможны и равно правильны двѣ взаимно другъ друга исключающiя точки зрѣнiя: идеалистическая и эмпирическая.

Тот же текст в современной орфографии

Тем не менее мы не можем отказаться от мысли, что, например, диагональ квадрата, или окружность круга имеют определённую длину, выражаемую определённым числом; то же имеет место и для промежутков времени и веса: мы склонны принять, что измеряемые объекты представляют собой как бы эквиваленты всей совокупности чисел^[1].

3. Условия измеримости элементов некоторого комплекса можно, на наш взгляд, выразить в следующих положениях:

1. Два элемента $a$ и $b$ данного комплекса либо равны друг другу, либо один из них больше, другой меньше.

2. Если $a$ есть некоторый элемент этого комплекса, то можно указать элементы, которые меньше элемента $a$ (бесконечная делимость).

3. Если $a$ и $b$ суть некоторые элементы нашего комплекса (равные друг другу или различные), то в этом же комплексе существует элемент $c=a+b$ , представляющий собою сумму обоих элементов и превосходящий оба слагаемые, порознь взятые.

При суммировании имеет место переместительный и сочетательный законы сложения (§ 7).

4. Если элемент $b$ меньше элемента $c$ , то существует определённый элемент $a=c-b$ , имеющий то свойство, что $a+b=c$ .

5. Повторное суммирование нескольких равных друг другу элементов $a$ приводит к понятию произведения $ma$ , где $m$ означает число натурального ряда. Относительно произведений имеет место принцип Архимеда:

Если $a$ и $b$ суть произвольные два элемента нашей группы, то можно указать элемент $ma$ , кратный элементу $a$ , который превосходит элемент $b$ .

Таким образом среди элементов измеримой группы нет ни наибольшего, ни наименьшего; из свойств 2), 3) и 4) следует, что между двумя любыми элементами заключены ещё другие элементы. Кроме того, должно быть выполнено следующее условие:

6. Если $a$ обозначает какой-либо элемент группы, а $n$ есть число натурального ряда, то существует элемент $b$ , удовлетворяющий равенству $nb=a$ . Этот элемент $b$ называется $n$ -ой частью элемента $a$ и

↑ Понятие о непрерывности, столь простое и наглядное в области отвлечённых чисел, представляет почти непреодолимые трудности в области измеряемых величин, т. е. в области объектов внешнего мира.
Павел Дюбуа-Реймон (Paul du Bois-Reymond) разработал этот вопрос в своём труде: «Allgemeine Functionentheorie» (Tübingen 1882). Он пришёл к тому выводу, что по этому вопросу равно возможны и равно правильны две взаимно друг друга исключающие точки зрения: идеалистическая и эмпирическая.

[1] Понятiе о непрерывности, столь простое и наглядное въ области отвлеченныхъ чиселъ, представляетъ почти непреодолимыя трудности въ области измѣряемыхъ величинъ, т. е. въ области объектовъ внѣшняго мiра.
Павелъ Дюбуа-Реймонъ (Paul du Bois-Reymond) разработалъ этотъ вопросъ въ своемъ трудѣ: „Allgemeine Functionentheorie“ (Tübingen 1882). Онъ пришелъ къ тому выводу, что по этому вопросу равно возможны и равно правильны двѣ взаимно другъ друга исключающiя точки зрѣнiя: идеалистическая и эмпирическая.

[2] Понятие о непрерывности, столь простое и наглядное в области отвлечённых чисел, представляет почти непреодолимые трудности в области измеряемых величин, т. е. в области объектов внешнего мира.
Павел Дюбуа-Реймон (Paul du Bois-Reymond) разработал этот вопрос в своём труде: «Allgemeine Functionentheorie» (Tübingen 1882). Он пришёл к тому выводу, что по этому вопросу равно возможны и равно правильны две взаимно друг друга исключающие точки зрения: идеалистическая и эмпирическая.

[1]

[1]