Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/52

всегда отвѣчаетъ большее число; числа возрастаютъ слѣва направо, или, какъ часто говорятъ, въ положительномъ направленiи.

Тот же текст в современной орфографии

всегда отвечает большее число; числа возрастают слева направо, или, как часто говорят, в положительном направлении.

---

§ 12. Дѣйствiя надъ цѣлыми числами.

Надъ этими числами мы установимъ теперь нижеслѣдующiя правила дѣйствiй; при этомъ мы будемъ руководиться только тѣмъ основнымъ положенiемъ, чтобы установленныя уже дѣйствiя въ области натуральныхъ чиселъ представляли собою частные случаи вводимыхъ нами новыхъ болѣе общихъ правилъ и чтобы основные законы ариѳметическихъ дѣйствiй сохранили свою силу при этомъ обобщенiи.

1. Сложенiе. Пусть $\alpha$ и $\beta$ будутъ два цѣлыхъ числа съ абсолютными величинами $a$ и $b$; положимъ при этомъ, что

$b>a$.

(1)

Въ такомъ случаѣ мы положимъ:

$\alpha +\beta =$

$a+b$,

если

$\alpha$

имѣетъ

знакъ

$+$

,

а

$\beta$

имѣетъ

знакъ

$+$

$\alpha +\beta =$

$b-a$

„

„

„

„

$-$

„

„

„

„

$+$

$\alpha +\beta =$

$-(b-a)$

„

„

„

„

$+$

„

„

„

„

$-$

$\alpha +\beta =$

$-(b+a)$

„

„

„

„

$-$

„

„

„

„

$-$

(2)

$\alpha +\beta =\beta +\alpha$ [1]

(3)

Число $0$ можетъ быть при этомъ отнесено произвольно къ положительнымъ или къ отрицательнымъ числамъ. Съ помощью ряда точекъ, приведеннаго въ § 11 (фиг. 1), правило сложенiя можно сдѣлать нагляднымъ.

Чтобы къ числу $\alpha$ прибавить число $\beta$, имѣющее абсолютную величину $b$, отсчитываемъ $b$ точекъ въ положительномъ направленiи, начиная съ точки $\alpha +1$, если $\beta$ есть число положительное, и въ отрицательномъ направленiи, начиная съ точки $\alpha -1$, если $\beta$ есть число отрицательное; точка, къ которой мы такимъ образомъ придемъ, соотвѣтствуетъ числу $\alpha +\beta$.

2. Вычитанiе. Полагая по прежнему $b>a$ (1), мы положимъ

			Знаки чиселъ	$\alpha$	и	$\beta$
$\alpha -\beta$	$=$	$-(b-a)$		$+$		$+$
	$=$	$-(a+b)$		$-$		$+$
	$=$	$a+b$		$+$		$-$
	$=$	$b-a$		$-$		$-$

(4)

$\beta -\alpha =-(\alpha -\beta )$

(5)

1. Опредѣленiя, содержащiяся въ соотношенiяхъ (2), устанавливаютъ, что значитъ прибавить къ числу $\alpha$ число $\beta$, имѣющее такую же или большую абсо-

Тот же текст в современной орфографии

§ 12. Действия над целыми числами.

Над этими числами мы установим теперь нижеследующие правила действий; при этом мы будем руководиться только тем основным положением, чтобы установленные уже действия в области натуральных чисел представляли собою частные случаи вводимых нами новых более общих правил и чтобы основные законы арифметических действий сохранили свою силу при этом обобщении.

1. Сложение. Пусть $\alpha$ и $\beta$ будут два целых числа с абсолютными величинами $a$ и $b$; положим при этом, что

$b>a$.

(1)

В таком случае мы положим:

$\alpha +\beta =$

$a+b$,

если

$\alpha$

имеет

знак

$+$

,

а

$\beta$

имеет

знак

$+$

$\alpha +\beta =$

$b-a$

„

„

„

„

$-$

„

„

„

„

$+$

$\alpha +\beta =$

$-(b-a)$

„

„

„

„

$+$

„

„

„

„

$-$

$\alpha +\beta =$

$-(b+a)$

„

„

„

„

$-$

„

„

„

„

$-$

(2)

$\alpha +\beta =\beta +\alpha$ [1]

(3)

Число $0$ может быть при этом отнесено произвольно к положительным или к отрицательным числам. С помощью ряда точек, приведённого в § 11 (фиг. 1), правило сложения можно сделать наглядным.

Чтобы к числу $\alpha$ прибавить число $\beta$, имеющее абсолютную величину $b$, отсчитываем $b$ точек в положительном направлении, начиная с точки $\alpha +1$, если $\beta$ есть число положительное, и в отрицательном направлении, начиная с точки $\alpha -1$, если $\beta$ есть число отрицательное; точка, к которой мы таким образом придём, соответствует числу $\alpha +\beta$.

2. Вычитание. Полагая по-прежнему $b>a$ (1), мы положим

			Знаки чисел	$\alpha$	и	$\beta$
$\alpha -\beta$	$=$	$-(b-a)$		$+$		$+$
	$=$	$-(a+b)$		$-$		$+$
	$=$	$a+b$		$+$		$-$
	$=$	$b-a$		$-$		$-$

(4)

$\beta -\alpha =-(\alpha -\beta )$

(5)

1. Определения, содержащиеся в соотношениях (2), устанавливают, что значит прибавить к числу $\alpha$ число $\beta$, имеющее такую же или большую абсо-