Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/54

2. $\alpha$ отрицательно, $\beta$ положительно

$(b-a)+c=(b+c)-a=b+(c-a)$;

3. $\alpha$ положительно, $\beta$ отрицательно

$c-(b-a)=a+(c-b)=(a+c)-b$;

4. Числа $\alpha$ и $\beta$ отрицательны

$c-(a+b)=(c-b)-a=(c-a)-b$, если $c>a+b$,

$(a+b)-c=a-(c-b)=b-(c-a)$, если $c<a+b$.

Справедливость этихъ формулъ вытекаетъ изъ соотношенiй, приведенныхъ въ концѣ пункта 5 параграфа 2. Такимъ образомъ сочетательный законъ доказанъ и для обобщеннаго сложенiя.

Если мы теперь дословно повторимъ тотъ же рядъ разсужденiй, который былъ примѣненъ въ § 8,4 къ умноженiю, то получимъ слѣдующiй болѣе общiй законъ:

5. Если намъ нужно определить сумму любого количества цѣлыхъ чиселъ (слагаемыхъ), то можно поступать слѣдующимъ образомъ: выбираемъ произвольно два слагаемыхъ, складываемъ ихъ и сумму присоединяемъ къ остальнымъ слагаемымъ. Въ полученной такимъ образомъ новой системѣ, содержащей уже меньше элементовъ, мы вновь выбираемъ два и поступаемъ съ ними точно такъ же, какъ выше. Этотъ процессъ мы продолжаемъ до тѣхъ поръ, пока не останется только одно число. Это число не зависитъ отъ порядка, въ которомъ мы производимъ наши отдѣльныя операцiи, и называется суммой всѣхъ чиселъ.

6. Законы перемѣстительный и ассоцiативный принимаютъ для вычитанiя другую форму, которая получается изъ соотвѣтствующихъ формулъ сложенiя, если разсматривать вычитанiе, какъ сложенiе отрицательныхъ чиселъ; именно, каковы бы ни были числа $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, имѣютъ мѣсто слѣдующiя соотношенiя:

$\alpha -\beta =-(\beta -\alpha )$, (ср. форм. (5))

(8)

$(\alpha +\beta )-\gamma =\alpha +(\beta -\gamma )$

(9)

$(\alpha -\beta )+\gamma =\alpha -(\beta -\gamma )=\alpha +(\gamma -\beta )$

(10)

$(\alpha -\beta )-\gamma =\alpha -(\beta +\gamma )=(\alpha -\gamma )-\beta$.

(11)

7. Отсюда легко получить (при помощи совершенной индукцiи) часто примѣняемое правило вычитанiя, извѣстное также подъ названiемъ „правила для открыванiя скобокъ“; оно выражается слѣдующей формулой:

Тот же текст в современной орфографии

2. $\alpha$ отрицательно, $\beta$ положительно

$(b-a)+c=(b+c)-a=b+(c-a)$;

3. $\alpha$ положительно, $\beta$ отрицательно

$c-(b-a)=a+(c-b)=(a+c)-b$;

4. Числа $\alpha$ и $\beta$ отрицательны

$c-(a+b)=(c-b)-a=(c-a)-b$, если $c>a+b$,

$(a+b)-c=a-(c-b)=b-(c-a)$, если $c<a+b$.

Справедливость этих формул вытекает из соотношений, приведённых в конце пункта 5 параграфа 2. Таким образом сочетательный закон доказан и для обобщённого сложения.

Если мы теперь дословно повторим тот же ряд рассуждений, который был применён в § 8,4 к умножению, то получим следующий более общий закон:

5. Если нам нужно определить сумму любого количества целых чисел (слагаемых), то можно поступать следующим образом: выбираем произвольно два слагаемых, складываем их и сумму присоединяем к остальным слагаемым. В полученной таким образом новой системе, содержащей уже меньше элементов, мы вновь выбираем два и поступаем с ними точно так же, как выше. Этот процесс мы продолжаем до тех пор, пока не останется только одно число. Это число не зависит от порядка, в котором мы производим наши отдельные операции, и называется суммой всех чисел.

6. Законы переместительный и ассоциативный принимают для вычитания другую форму, которая получается из соответствующих формул сложения, если рассматривать вычитание, как сложение отрицательных чисел; именно, каковы бы ни были числа $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$, имеют место следующие соотношения:

$\alpha -\beta =-(\beta -\alpha )$, (ср. форм. (5))

(8)

$(\alpha +\beta )-\gamma =\alpha +(\beta -\gamma )$

(9)

$(\alpha -\beta )+\gamma =\alpha -(\beta -\gamma )=\alpha +(\gamma -\beta )$

(10)

$(\alpha -\beta )-\gamma =\alpha -(\beta +\gamma )=(\alpha -\gamma )-\beta$.

(11)

7. Отсюда легко получить (при помощи совершенной индукции) часто применяемое правило вычитания, известное также под названием «правила для открывания скобок»; оно выражается следующей формулой: