Страница:VeberVellshtejn t1 1906ru.djvu/61

2. Пусть $a$ и $a_{1}$ будутъ данныя два положительныя числа, общiй наибольшiй дѣлитель которыхъ намъ нужно разыскать. Если они равны между собой, то общее ихъ значенiе и представляетъ ихъ общiй наибольшiй дѣлитель. Мы предположимъ поэтому, что $a>a_{1}$. Раздѣлимъ число $a$ на $a_{1}$, и если дѣленiе не совершается нацѣло, то мы получимъ остатокъ, который меньше, нежели $a_{1}$; этотъ остатокъ мы обозначимъ черезъ $a_{2}$. Теперь раздѣлимъ $a_{1}$ на $a_{2}$,; если и это дѣленiе не совершается нацѣло, то мы получимъ остатокъ $a_{3}$, который меньше, нежели $a_{2}$, и т. д. Продолжая этотъ процессъ, мы будемъ получать постоянно меньшiе остатки; послѣ опредѣленнаго числа такихъ дѣленiй мы необходимо должны придти къ такому дѣленiю, которое совершается нацѣло, такъ какъ не можетъ быть неограниченнаго числа остатковъ, меньшихъ, нежели опредѣленное число. Этимъ заканчивается вычисленiе, и дѣлитель послѣдняго дѣленiя есть искомый наибольшiй дѣлитель чиселъ $a$ и $a_{1}$. Этотъ процессъ становится нагляднѣе, если выразить его нижеслѣдующими равенствами, въ которыхъ буквами $q$, $q_{1}$, $q_{2}$ .... $q_{n-1}$ обозначены частныя послѣдовательныхъ дѣленiй:

$a$	$=$	$qa_{1}+a_{2}$
$a_{1}$	$=$	$q_{1}a_{2}+a_{3}$
. . . . . . . .
$a_{n-2}$	$=$	$q_{n-2}a_{n-1}+a_{n}$
$a_{n-1}$	$=$	$q_{n-1}a_{n}$

(1)

Наше утвержденiе заключается въ томъ, что $a_{n}$ есть общiй наибольшiй дѣлитель чиселъ $a$ и $a_{1}$. Это будетъ доказано, если мы обнаружимъ,

α) что $a_{n}$ есть дѣлитель чиселъ $a$ и $a_{1}$ и

β) что каждый общiй дѣлитель чиселъ $a$ и $a_{1}$ представляетъ собою также дѣлителя числа $a_{n}$.

Въ самомъ дѣлѣ, если $d$ есть искомый общiй наибольшiй дѣлитель, то изъ свойства α) слѣдуетъ, что $a_{n}\leqslant d$, a изъ свойства β) слѣдуетъ, что $a_{n}\geqslant d$; поэтому изъ соотношенiй α) и β) вмѣстѣ слѣдуетъ, что $a_{n}=d$. Что-же касается самихъ требованiй α) и β), то въ ихъ справедливости легко убѣдиться, разсматривая равенства (1). (§ 14, 8) ^[1]

надлежало арабскому писателю, который въ началѣ X столѣтiя училъ производить вычисленiя при помощи индiйскихъ цифръ (Cantor, Geschichte der Mathematik. 2 Auflage, Bd. 1, S. 671 f; Euklid, Elemente, VII Buch, II. Ausgabe von Heiberg, Bd. II. Leipzig, Teubner 1884).

1. Выяснимъ подробнѣе этотъ основной пунктъ.

   α) Послѣднее изъ равенствъ (1) показываетъ, что $a_{n-1}$ дѣлится на $a_{n}$; вслѣдствiе этого предпослѣднее изъ равенствъ (1), въ виду предложенiя § 14, 8, обнаруживаетъ, что $a_{n-2}$ дѣлится на $a_{n}$. Такимъ же образомъ предыдущее соотношенiе

Тот же текст в современной орфографии

2. Пусть $a$ и $a_{1}$ будут данные два положительные числа, общий наибольший делитель которых нам нужно разыскать. Если они равны между собой, то общее их значение и представляет их общий наибольший делитель. Мы предположим поэтому, что $a>a_{1}$. Разделим число $a$ на $a_{1}$, и если деление не совершается нацело, то мы получим остаток, который меньше, нежели $a_{1}$; этот остаток мы обозначим через $a_{2}$. Теперь разделим $a_{1}$ на $a_{2}$,; если и это деление не совершается нацело, то мы получим остаток $a_{3}$, который меньше, нежели $a_{2}$, и т. д. Продолжая этот процесс, мы будем получать постоянно меньшие остатки; после определённого числа таких делений мы необходимо должны придти к такому делению, которое совершается нацело, так как не может быть неограниченного числа остатков, меньших, нежели определённое число. Этим заканчивается вычисление, и делитель последнего деления есть искомый наибольший делитель чисел $a$ и $a_{1}$. Этот процесс становится нагляднее, если выразить его нижеследующими равенствами, в которых буквами $q$, $q_{1}$, $q_{2}$ .... $q_{n-1}$ обозначены частные последовательных делений:

$a$	$=$	$qa_{1}+a_{2}$
$a_{1}$	$=$	$q_{1}a_{2}+a_{3}$
. . . . . . . .
$a_{n-2}$	$=$	$q_{n-2}a_{n-1}+a_{n}$
$a_{n-1}$	$=$	$q_{n-1}a_{n}$

(1)

Наше утверждение заключается в том, что $a_{n}$ есть общий наибольший делитель чисел $a$ и $a_{1}$. Это будет доказано, если мы обнаружим,

α) что $a_{n}$ есть делитель чисел $a$ и $a_{1}$ и

β) что каждый общий делитель чисел $a$ и $a_{1}$ представляет собою также делитель числа $a_{n}$.

В самом деле, если $d$ есть искомый общий наибольший делитель, то из свойства α) следует, что $a_{n}\leqslant d$, a из свойства β) следует, что $a_{n}\geqslant d$; поэтому из соотношений α) и β) вместе следует, что $a_{n}=d$. Что же касается самих требований α) и β), то в их справедливости легко убедиться, рассматривая равенства (1). (§ 14, 8) ^[1]

надлежало арабскому писателю, который в начале X столетия учил производить вычисления при помощи индийских цифр (Cantor, Geschichte der Mathematik. 2 Auflage, Bd. 1, S. 671 f; Euklid, Elemente, VII Buch, II. Ausgabe von Heiberg, Bd. II. Leipzig, Teubner 1884).

1. Выясним подробнее этот основной пункт.

   α) Последнее из равенств (1) показывает, что $a_{n-1}$ делится на $a_{n}$; вследствие этого предпоследнее из равенств (1), ввиду предложения § 14, 8, обнаруживает, что $a_{n-2}$ делится на $a_{n}$. Таким же образом предыдущее соотношение