76 § 22 Если же мы тЪмъ не мен-fee желаемъ сделать нашу задачу разре- разрешимой, намъ необходимо вновь расширить понятие о числе, введя числа новой природы; эти послЪдшя мы будемъ называть вообще иррацш- нальными числами; въ противоположность имь мы будемъ впредь на- называть рашональными числа, которыми мы занимались до сихъ п ръ; они должны подходить, какъ частный случай, подь вновь расширенное по- нят1е о числе. Эти новыя числа, какъ и вообще всякаго рода числа, являются про- продуктом ь свободнаго творчества нашего духа; пользуемся ли мы этимъ расширеннымъ понят1емъ о числе или нътъ, даемъ ли ему новое назваше или нътъ, это исключительно вопросъ точки зръшя и целесообразно- целесообразности. Вопросъ зтотъ не имъеть значешя при практическихъ вычислетяхъ, гакъ какь здесь приходится, въ конце концовъ, оперировать исключи- исключительно надъ рацюнальными числами. Однакожъ указанное расширеше понята о числъ необходимо для внутренней гармоши учешя о числъ; безъ этой эволюцш формулировка и изложеше многихь теоремь, особен- особенно въ высшемъ анализе, представляла бы огромныя трудности и требо- требовала бы чрезвычайной пространности. Мы имеем ь, конечно, право давать особое назваше каждому стро- строго определенному родовому понятш. Но при этомъ безусловно необхо- необходимо установить содержаше понят1я съ такой определенностью, чтобы во всъхъ случаяхъ можно было безъ всякаго сомнтлш решить, что подходитъ и что не подходитъ подъ это понят(е; лишь тамя безукоризненно оп- ределенныя понят1я могутъ составлять тотъ матер1а.чь, надъ которымъ оперируетъ математика. Понят1е объ иррац1ональномъ числе, какъ и вообще понят1е о числе, есть родовое понят1е. Можно установить безконечное число си- стемъ такъ, чтобы между индивидумами любыхъ двухъ таких ь системъ могло существовать однозначное соответств1е, и все так1я системы одинаково хорошо могли бы служить той цели, ради которой вводятся иррашональныя числа *). Например ь, мы можемъ исходить отъ безконечныхъ десятичныхъ дробей, или отъ безконечныхъ непрерыв-
- ) Эта мысль требуетъ, невидимому, пояснены. Изложыпе ариеметики нача-
начато введешемъ комплекса логическихъ объектовъ (поняпй), которые названы на- натуральными числами. Этотъ комплексъ затЕмъ расширенъ введешемъ новыхъ эле- ментовъ. -дробныхъ и отрицательныхъ чиселъ. Теперь необходимо произвести дальнЕйшее расширеше этого комплекса. Та цЕль, которая имЕется при этомъ въ виду можетъ быть достигнута различными путями. Иначе говоря, можно различ- нымъ образомъ построить комплексы такъ, что въ составь каждого изъ нихъ вой- дутъ всЕ рацюнальныя числа и каждый изъ нихъ можетъ удовлетворить поставлен- поставленной цЕли; но всЕ эти комплексы будутъ имЕть одинаковую мощность. Указанные въ текстЕ примЕры не могутъ получить здЕсь значительнаго развипя, такъ какъ это потребовало бы пространныхъ разсуждешй.
